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圆中分类讨论问题归类举例 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关 于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一 加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考 题举例说明如下。 一、点和圆的位置 凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外 三种可能情形。 例 1.过不在 O 上的一点A，作 O 的割线，交O 于 B、C，且 AB·AC64，OA 10，则 O 的半径 R 为_。 解：依题意，点A 与 O 的位置关系有两种： （1）点 A 在 O 内，如图 1，延长 AO 交 O 于 F，则 由相交弦定理得： 所以（负值已舍去） （2）点 A 在 O 外，如图2， 此时 由割线定理得： 所以（负值已舍去） 故 O 的半径 R 为或 6。 二、点与弦的相对位置 例 2.O 是 ABC 的外接圆，ODBC 于 D， 且 BOD 48°， 则 BAC _。 解：（ 1）点 A 和圆心 O 在弦 BC 同侧，如图3，可求得 BAC BOD48° （2）点 A 和圆心 O 在弦 BC 异侧，如图4，可求得 BAC 132° 三、弦所对的圆周角 例 3.半径为 1 的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数 等于 _。 解：弦所对的圆周角有两种情况： （1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°； （2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。 故应填 60°或 120°。 四、平行弦与圆心的位置 例 4.在半径为5cm 的 O 中，弦 AB 6cm，弦 CD8cm，且 ABCD，求 AB 与 CD 之间的距离。 分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异 侧。 解：过 O 作 AB 、CD 的垂线，分别交AB、 CD 于点 E、F，连接 OA、OC. 在 RtOAE 中， 在 RtOCF 中， （1）当 AB、 CD 在圆心 O 的同侧时，如图5，AB 和 CD 之间的距离为 （2）当 AB、 CD 在圆心 O 的异侧时，如图6，AB 和 CD 之间的距离为 所以 AB 和 CD 之间的距离为1cm 或 7cm。 五、圆心与角的位置 例 5.在半径为1 的 O 中，弦AB、AC 的长分别为和，则 BAC 的度数是 _。 解：如图7，当圆心在BAC 内部时，连接AO 并延长交 O 于 E 在 RtABE 中，由勾股定理得： 所以 BAE30° 同理，在 RtCAE 中， ECAC ，所以 EAC 45°， 当圆心 O 在 BAC 的外部时（ BAC' ），由轴对称性可知： 所以 BAC 为 75°或 15° 六、点在弧上的位置 例 6.如图 8，在平面直角坐标系中，P 是经过 O（ 0，0）， A（0，2）， B（ 2，0）的 圆上的一个动点（P 与 O、B 不重合），则 OAB _度， OPB_度。 解：依题意可知AOB 是等腰直角三角形，所 以 OAB 45° 当动点 P在上时， OPB OAB 45° 当动点 P 在上时， OPB180° 45° 135° 故 OPB 为 45°或 135°。 七、相交两圆的圆心与公共弦的位置 例 7.已知半径为4 和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_。 分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。 解：如图9、图 10， 在中， 在中， （1）当圆心在公共弦AB 的同侧时，如图9 图 8 （2）当圆心在公共弦AB 的异侧时，如图10 八、直线与圆的位置 例 8.两圆的半径分别为4 和 2，如果它们的 两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。 分析： 两圆的公切线有内公切线和外公切线 两种，公切线互相垂直，有三种情况。 解：（ 1）当内公切线与外公切线垂直时， 如图 11，AB 切于 A，切于 B，EF 切于 E，切于 F，AB EF 于 D。 由切线定理，得： 所以