最新-八年级数学上册14章勾股定理专题复习与训练华师大版精品.pdf

勾股定理专题 我国古代把直角三角形较短的直角边称为_ ，较长的直角边称为_， 斜边称为 _。 一知识归纳 勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 222 abc 2. 勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角 形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3. 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4 EFGHSSS正方形正方形 ABCD， 221 4() 2 abbac，化简可证 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221 42 2 Sabcabc 大正方形面积为 222 ()2Sabaabb所以 222 abc . 勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC中，90C，则 22 cab， 22 bca， 22 acb 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 . 勾股定理的逆定理（直角三角形的判定） 如果三角形三边长 a，b，c满足 222 abc，那么这个三角形是直角三角形，其中 c为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过“数转化为形”来确定三角 形的可能形状， 在运用这一定理时，可用两小边的平方和 22 ab与较长边的平方 2 c作比较， 若它们相等时， 以a， b，c为三边的三角形是直角三角形；若 222 abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若 222 abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a，b，c及 222 abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足 222 acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成： 当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直 角三角形 . 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数 称为勾股数，即 222 abc中，a，b，c为正整数时， 称a，b，c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2 ,1nn n（2,nn为正整数）； 22 21,22 ,221nnnnn（n为正整数） 222 , 2,mnm nmn（,mn m，n为正整数） 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股 定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行 计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解 . 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过 程中， 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而 得到错误的结论 . 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判 定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形： A B C 30° D C B A A DB C 题型一：直接考查勾股定理 例 . 在ABC中，90C 已知6AC，8BC求AB的长已知17AB，15AC，求BC的长 题型二：应用勾股定理建立方程 例 . 在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD 已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据勾股定 理列方程求解 例 . 如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长 2 1 E D C B A 例 4. 如图Rt ABC，90C3,4ACBC, 分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 B A C 题型三：实际问题中应用勾股定理 例 5. 如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2 cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的 树梢，至少飞了 m A BC D E D CB A 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例 6. 已知三角形的三边长为 a，b，c，判定ABC是否为Rt 1.5a，2b，2.5c 5 4 a，1b， 2 3 c 例 7. 三边长为a，b，c满足10ab，18ab，8c的三角形是什么形状？ 题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例 8. 已知ABC中，13AB cm，10BCcm，BC边上的中线12ADcm，求证：ABAC 练习题 1、有一块对角线长为1 米的长方形木板，测得木板的长为8.0米，则木板的宽为（） A、4.0 B、5 .0 C、6 .0 D、7.0 2、若一个三角形的三边长分别是3，22，17，则这个三角形为（） A、 锐角三角形 B、 钝角三角形 C、 直角三角形 D、 不确定 3、CD是ABCRt斜边AB上的高，如果1AB，1:4: BCAC，则CD长（） A、 17 4 B、 17 3 C、 17 2 D、 17 1 4、如果cba,能组成一个直角三角形，那么 222 :cba可以是（） A、4:2:1 B、5:3:1 C、7:4:3 D、13:12:5 5、如图，一架梯子长10 米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6 米，要使梯子顶端离地8 米，则梯子的底部在 水平方向上应滑动（） A、 1 米 B、 2 米 C、 3 米 D、 4 米 二、填空题： 6、在ABCRt中， 90B，6a，10b，则c=_. 7、已知一个正方体的体积是512 立方米，则正方体底面的对角线长是_. 8、若一个直角三角形的三边长为连续偶数，则三边长分别是_ 、_、_， 其斜边上的高是_. 9、如果ABC的三边长cba,满足关系式 03018602 2 cbba，则 a=_，b=_，c=_，ABC的形状是 _. 10、现有两根木棒的长度分别是40 cm 和 50 cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角 为直角，则所需的木棒长度为_ 三、解答题： 11、如图，在ABC中， 90C，13AB，12BC， BCBD 2 1 （1）AD的长 . （2）ABD的面积 . 14、有一只小鸟在一棵高4 米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12 米， 高 20 米的一棵大树的树梢上发出友 好的叫声，它立刻以4 米/ 秒的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？ 13、一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了600 千米， 然后向正南方向航行了250 千米， 这时它离出发点 有多远？ B C A D