最新-八年级数学下册《四边形》题型集锦人教新课标版精品.pdf

2018 年春八下四边形题型集锦 §1. 谈线段、角的和差倍分问题的证明 证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代 数恒等式的证明方法。 一. 转化为证明相等的一般方法 通过作图转化 1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法） 、 分解法 把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量 、 合成法 作出两个小量的和，证它与大量相等 2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2 倍 、 折半法 作出大量的一半，证它与小量相等 、 加倍法 作出小量的2 倍，证它与大量相等 应用有关定理转化 1、三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半 2、直角三角形斜边中线等于斜边的一半 3、直角三角形中，含30 度的角所对的直角边等于斜边的一半 4、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 5、等腰三角形顶角的外角等于底角的2 倍 6、三角形的重心（各中线的交点）分中线为21 7、有关比例线段定理 二. 用代数恒等式的证明 1.由左证到右或由右证到左 2.左右两边分别化简为同一个第三式 3.证明左边减去右边的差为零 4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论 典型例题： 一、运用定理法 A B C D F H E G 例 1 、 如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D ，M为BC中点 . 求证：DM = 2 1 AB 分析：如图，因为 2 1 AB等于ABC的 中位线 NM的长，所以原命题就转化为证明DMNM。DN为RtADC斜边上的中线，DN=NC； 2= C，又 2C=B=1=2+3, 2=3=C ，DM=MN，问题得证。 说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证 明两条线段相等的问题。“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形， 促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线 段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或 其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。 例 2 、已知： ABC中， B2C， AD是高 求证： DC AB BD 分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB ，BD相等。可以以高AD为轴作 ADB的对称 三角形 ADE ，再证 EC AE 。 AEB B2 C且 AEB C EAC ， EAC C辅助线是在DC 上取 DE DB ，连结 AE 。 分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。仍然以高AD为轴，作出DC的对称线 段 DF。为便于证明，辅助线用延长DB到 F，使 BFAB ，连结 AF ，则可得 ABD 2F2C。 、 如图，在ABC中，BD=FC，FGDEBA，D、F在BC上，E、G在AC上. 求证：FG=AB-DE 分析：本题的关键在于构造一条线段，使之等于 （AB-DE）,如图，在AB上载取线段AH=DE，则 AB-DE=BH，从而把原命题转化为证明FG=BH的问题，进而通过证BHDFGC，使原命题得证。 A B D C N M 1 2 3 k CE A BD A FBCD A A B C D P Q E 1 2 3 、 如图，P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，AQ平分PAD. 求证：AP=BP+DQ. 证明：延长PB至E，使BE=DQ， 四边形ABCD是正方形， BA=AD，EBA=QDA=90° ABEADQ，E=4， 3=1， 1=2， 3=2，PAQ=BAQ=4 E=PAE，PE=AP，既BP+BE=AP， BP+DQ=AP 说明：例 3 通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例4 通过“添补”的形式构造从两条线段之 和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系 时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或 “几分之几” ，这不能取决于原命题的和差倍分形式。因为“和”与“差”， “倍”与“分”是可以互相 转化的。因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立” 的，而应能够与原来的图形产生联系。 例 5 、已知： ABC中， B和 C的平分线相交于I ， 求证： BIC 90 2 1 A 证明一：（由左到右） BIC180 （ 1 2） 180 2 1 （ ABC ACB ） 180 2 1 （ ABC ACB A） 2 1 A 90 2 1 A 证明二：（左边右边0） BIC（ 90 2 1 A） 180 2 1 （ ABC ACB ） 90 2 1 A 90 2 1 （ ABC ACB A） 证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形） A ABC ACB 180 A180 （ ABC ACB ） 21 I A BC EF A B E D C A B E D F C 则 2 1 A 90 2 1 （ ABC ACB ） 90 2 1 A180 2 1 （ ABC ACB ） ，即 BIC 90 2 1 A 例 6 、 如图，ABC中，BAC=90°，AE是经过点A的一条直线，交BC于F，且B、C在 AE在 的异侧，BDAE于D，CEAE于E，求证：DB=DE+CE。 分析：通过分析题目的已知条件可知：ABDCAE, 从而得AD=CE， 则DE+CE=AE， 而BD=AE， 原命题得证。 例 7 、已知：在正方形ABCD 中，点 E在 AB上且 CE ADAE ，F 是 AB的中点， 求证： DCE 2BCF 分析： 本题显然应着重考虑如何发挥CE AD AE条件的作用， 如果只想用加倍法或折半法，则脱 离题设的条件，难以见效。 我们可将AE （它的等量DG ）加在正方形边CD的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD （它 的等量 AG ）加在 AE的延长线上（如右图） ，后一种想法更容易些。 辅助线如图，证明（略）自己完成 三、比例线段法 即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分 关系。 例 8、 如图，在ABC中，BD是B的平分线，ABD的外接园交BC于E，若AB= 2 1 AC， 求证：CE=2AD。 分析：因为“CE=2AD”与“AB= 2 1 AC”的倍分关系 一致，因此想办法通过比例式将这些线段联系起来， 连接DE，则CDE=ABC，故CDECBA，得CE：DE=AC：AB=2，又由BD为ABC的平分线得DE=AD， 所以CE：AD=2，即CE=2AD。 A B C DG E F H A B C D G E F H §2. 单元综合测试题 一、 填空题（共 26 题） 1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法 是。 2若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为12，则该菱形的面积为 cm 2。 3 如图 2， ABC中， EF是它的中位线，M 、N分别是 EB 、CF的中点，若BC=8cm ， 那么 EF= cm，MN= cm。 4如下图，若梯形的两底长分别为4cm和 9cm ，两条对角线长分别为5cm和 12cm， 则该梯形的面积为 cm 2。 5梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是。 6如图，正方形ABCD的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2 7在平行四边形ABCD中，已 知对角线AC和 BD相交于点O，ABO的周长为17，AB6，那么对角线AC BD 8已知菱形ABCD 的边长为6，A60°，如果点P是菱形内一点，且PB PD 2那么 AP的 长为。 9在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(2，5) ，B(3， 1) ，C(1， 1) ，在第 一象限内找一点D，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D的坐标是。 10. 已知矩形的周长为40cm，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差为8cm，则较大 的边长为 . 11将一矩形纸条，按如图3 所示折叠，则 1 = _ 度。 12如图 4，在梯形ABCD中，FEBCAD,/分别是对角线BD、AC的中点， ,38,22cmBCcmAD则EF。 13. 如图 5，在菱形ABCD 中， BAD=80 °， AB的垂直平分线交对角线AC于点 E，交 AB于点 F, F 为垂足，连接DE ，则 CDE= ° 图 3 图 4 图 5 14. 如图 6，在梯形 ABCD中， AD BC ，ABC和 DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P， 若 EF=3, 则梯形的周长为。 题 6 A B C D 4题图 E F C D A B