最新-初中数学中的动点问题人教新课标版精品.pdf

初中数学中的动点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题， 变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理 清题目中两个变量X、 Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互 关系， 找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目 的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。 一、例题 : 如图，在平行四边形ABCD 中， AD=4 cm ， A=60°， BD AD. 一动点 P从 A出发，以 每秒 1 cm 的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线 PM ，使 PM AD . (1) 当点 P运动 2 秒时，设直线PM与 AD相交于点E，求 APE的面积； (2) 当点 P运动 2 秒时，另一动点Q也从 A出发沿 ABC的路线运动， 且在 AB上以 每秒 1 cm 的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过 Q作直线 QN ，使 QN PM. 设点 Q运动的时间为t 秒(0 t 10) ，直线 PM与 QN截平行四边形ABCD所得图形的 面积为 S cm 2 . 求 S关于 t 的函数关系式； ( 附加题 ) 求 S的最大值。 E DC BA M P 解题思路 ： 第（ 1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动 2 秒时， AP=2 cm， 由 A=60°，知 AE=1 ， PE=3. SAPE= 2 3 第（ 2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我 们根据题目，综合分析，分类讨论. P点从 AB C一共用了12 秒，走了 12 cm， Q 点从 AB用了 8 秒， BC用了 2 秒， 所以 t 的取值范围是 0 t 10 不变量： P、Q 点走过的总路程都是12cm ，P点的速度不变，所以AP始终为： t+2 若速度有变化， 总路程 = 变化前的路程+变化后的路程 =变化前的速度×变化点所用时间 +变化后的速度×（t 变化点所用时间）. 如当 8t 10 时，点 Q所走的路程AQ=1 ×8+2（t 8）=2t-8 当 0t 6 时，点 P与点 Q都在 AB上运动， 设 PM与 AD交于点 G，QN与 AD交于点 F， 则 AQ=t，AF= 2 t ，QF=t 2 3 ，AP=t+2，AG=1+ 2 t ， PG=t 2 3 3. 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形， 其面积为（ PG + QF）× AG ÷2 S= 2 3 2 3 t. 当 6 t 8 时，点 P在 BC上运动，点Q仍在 AB上运动 . 设 PM与 DC交于点 G，QN与 AD交于点 F， 则 AQ=t，AF= 2 t ，DF=4- 2 t （总量减部分量） ， QF=t 2 3 ，AP=t+2，BP=t-6 （总量减部分量） ， CP=AC- AP=12-（t+2 ）=10-t （总量减部分量） ， PG=3)10(t，而 BD=34， 故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为 平行四边形的面积减去两个三角形面积S=334310 8 352 tt. 当 8t 10 时，点 P和点 Q都在 BC上运动 . 设 PM与 DC交于点 G，QN与 DC交于点 F， 则 AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12- （2t-8 ）=20-2t ， （难点） QF=(20-2t)3，CP=10-t ，PG=3)10(t. 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S=3150330 2 332 tt. ( 附加题 )当 0t 6 时， S的最大值为 2 37 ； 当 6t 8 时， S的最大值为36； 当 8t 10 时， S的最大值为36； 所以当 t=8 时， S有最大值为36 . 二、练习： 1. 如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，RtEFG中， G 90°， FG 4cm ，EG 3cm ，且 点 B、F、C、G在直线 l 上， EFG由 F、C重合的位置开始，以1cm/秒的速度沿直线 l 按箭 头所表示的方向作匀速直线运动 （1）当 EFG运动时，求点E分别运动到CD上和 AB上的时间； （2）设 x（秒）后， EFG 与正方形ABCD重合部分的面积为y（cm2） ，求 y 与 x 的函 数关系式； （3）在下面的直角坐标系中，画出0x2 时（ 2）中函数的大致图象；如果以O为圆 心的圆与该图象交于点P（x， 9 8 ） ，与 x 轴交于点A、B（A在 B的左侧），求 PAB的度数 l C DA BG E F x y O21 2 1 2. 已知，如图，在直角梯形COAB 中， CB OA ，以 O为原点建立平面直角坐标系，A、B、 C的坐标分别为A（10，0） 、B（4，8） 、C（0，8） ，D为 OA的中点，动点P自 A点出发沿A BCO的路线移动，速度为每秒1 个单位，移动时间记为t 秒， （1）动点 P在从 A到 B的移动过程中，设APD的面积为S，试写出S与 t 的函数关系式， 指出自变量的取值范围，并求出S的最大值 （2）动点P 从出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB 的面积分成1： 3 两部分？求出此时P 点的坐标 x y O B A P C D 3. 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0） ， （ 3， 4） 。动点 M 、N分别从 O、B同时出发，以每秒1 个单位的速度运动。其中，点M沿 OA向终 点 A运动，点N沿 BC向终点 C运动。过点N作 NP AC ，交 AC于 P，连结 MP 。已知动点运 动了 x 秒。 （1）P点的坐标为（，） ； （用含 x 的代数式表示） （2）试求MPA面积的最大值，并求此时x 的值。 （3）请你探索：当x 为何值时， MPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的 P N M C B A O y x 研究成果。 4. 如图，在RtABC中，90B，30C，12AB厘米，质点P从 A点出发 沿线路ABBC作匀速运动，质点Q从 AC的中点 D同时 出发沿线路DCCB作匀速运动 逐步靠近质点P，设两质点P、Q的速度分别为1 厘米 / 秒、a厘米 / 秒（1a） ，它们在t秒 后于 BC边上的某一点E相遇。（1）求出 AC与 BC的长度；（2）试问两质点相遇时所在的E 点会是 BC的中点吗？为什么？（3）若以 D、E、C为顶点的三角形与 ABC 相似，试分别求 出a与t的值； 5. 在三角形 ABC中, 60 ,24,16 O BBAcm BCcm. 现有动点P从点 A出发 ,沿射 线 AB向点 B方向运动 ; 动点 Q从点 C出发 , 沿射线 CB也向点 B方向运动 . 如果点P 的速度是4cm/ 秒, 点 Q 的速度是2cm/ 秒, 它们同时出发, 求:(1)几秒钟后 , PBQ的面积是 ABC的面积的一半? (2) 在第 (1) 问的