1、复变函数测验题第一章 复数与复变函数一、 选择题1当时，的值等于（）（A） （B） （C） （D）2设复数满足，那么（）（A）（B）（C）（D）3复数的三角表示式是（）（A）（B）（C）（D）4若为非零复数，则与的关系是（）（A）（B）（C）（D）不能比较大小设为实数，且有，则动点的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线一个向量顺时针旋转，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为，则原向量对应的复数是（）（A）（B）（C）（D）使得成立的复数是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数设为复数，则方程的解是（）（A）（B）（C）（D）满足不等式的所有点构成的集合是
2、A）有界区域（B）无界区域（C）有界闭区域（D）无界闭区域10方程所代表的曲线是（）（A）中心为，半径为的圆周 （B）中心为，半径为的圆周（C）中心为，半径为的圆周（D）中心为，半径为的圆周11下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A）（B）（C）（D）12设，则（）（A） （B） （C） （D）13（）（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在14函数在点处连续的充要条件是（）（A）在处连续 （B）在处连续（C）和在处连续（D）在处连续15设且，则函数的最小值为（）（A） （B） （C） （D）二、填空题1设，则 2设，则 3设，则 4复数的指数表示式为 5以方程的根的对应点
3、为顶点的多边形的面积为 不等式所表示的区域是曲线 的内部方程所表示曲线的直角坐标方程为方程所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线对于映射，圆周的像曲线为10三、若复数满足，试求的取值范围四、设，在复数集中解方程.五、设复数，试证是实数的充要条件为或.六、对于映射，求出圆周的像.七、试证.的充要条件为；. 的充要条件为.八、若，则存在，使得当时有.九、设，试证.十、设，试讨论下列函数的连续性：1.2.第二章 解析函数一、选择题：1函数在点处是( )（A）解析的 （B）可导的（C）不可导的 （D）既不解析也不可导2函数在点可导是在点解析的( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）
4、充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件3下列命题中，正确的是( )（A）设为实数，则（B）若是函数的奇点，则在点不可导（C）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析（D）若在区域内解析，则在内也解析4下列函数中，为解析函数的是( )（A） （B）（C） （D）5函数在处的导数( )（A）等于0 （B）等于1 （C）等于 （D）不存在6若函数在复平面内处处解析，那么实常数( )（A） （B） （C） （D）7如果在单位圆内处处为零，且，那么在内( )（A） （B） （C） （D）任意常数8设函数在区域内有定义，则下列命题中，正确的是（A）若在内是一常数，则在内是一常数（B）若在内是一常数，
5、则在内是一常数（C）若与在内解析，则在内是一常数（D）若在内是一常数，则在内是一常数9设，则( )（A） （B） （C） （D）10的主值为( )（A） （B） （C） （D）11在复平面上( )（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析12设，则下列命题中，不正确的是( )（A）在复平面上处处解析 （B）以为周期（C） （D）是无界的13设为任意实数，则( )（A）无定义 （B）等于1 （C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于114下列数中，为实数的是( )（A） （B） （C） （D）15设是复数，则( )（A）在复平面上处处解析
6、B）的模为（C）一般是多值函数 （D）的辐角为的辐角的倍二、填空题1设，则 2设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是 3导函数在区域内解析的充要条件为 4设，则 5若解析函数的实部，那么 6函数仅在点 处可导7设，则方程的所有根为 8复数的模为 9 10方程的全部解为 三、设为的解析函数，若记，则四、试证下列函数在平面上解析，并分别求出其导数12五、设，求.六、设试证在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知，试确定解析函数.八、设和为平面向量，将按逆时针方向旋转即得.如果为解析函数，则有（与分别表示沿,的方向导数）.九、若函数在上半平面内解析，试证函数在下半平面内解析.十、解方程
7、第三章 复变函数的积分一、选择题：1设为从原点沿至的弧段，则( )（A） （B） （C） （D）2设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为( )（A） （B） （C） （D）(A)(B)(C)都有可能3设为负向，正向，则 ( )（A） （B） （C） （D）4设为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）5设为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）6设，其中，则( )（A） （B） （C） （D）7设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分 ( )（A）于 （B）等于 （C）等于 （D）不能确定8设是从到的直线段，则积分（ ）（A） (B) (C) (D)
8、 9设为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）10设为正向圆周，则( )（A） （B） （C） （D）11设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于如果在上的值为2，那么对内任一点,( )（A）等于0 （B）等于1 （C）等于2 （D）不能确定12下列命题中，不正确的是( )（A）积分的值与半径的大小无关（B）,其中为连接到的线段（C）若在区域内有，则在内存在且解析 （D）若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则在处解析13设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是 ( )(A) （B） （C） （D）14下列命题中，正确的是( )（A）设在区域内均为的共轭调和函
9、数，则必有（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若在区域内解析，则为内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是( )（A） （B） （C） （D）二、填空题1设为沿原点到点的直线段，则 2设为正向圆周，则 3设,其中，则 4设为正向圆周，则 5设为负向圆周，则 6解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7设在单连通域内连续，且对于内任何一条简单闭曲线都有，那么在内 8调和函数的共轭调和函数为 9若函数为某一解析函数的虚部，则常数 10设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 三、计算积分1.,其中且;2.四、设在单
10、连通域内解析，且满足.试证在内处处有；对于内任意一条闭曲线，都有五、设在圆域内解析，若，则.六、求积分，从而证明.七、设在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数，试求极限并由此推证（刘维尔Liouville定理）.八、设在内解析，且，试计算积分并由此得出之值.九、设是的解析函数，证明.十、若，试求解析函数.第四章 级 数一、选择题：1设，则( )（A）等于 （B）等于 （C）等于 （D）不存在2下列级数中，条件收敛的级数为( )（A） （B）（C） （D）3下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B） （B）(C) （D）4若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为( )（A）绝对收敛 （
11、B）条件收敛（C）发散 （D）不能确定5设幂级数和的收敛半径分别为，则之间的关系是( )（A） （B） （C） （D）6设，则幂级数的收敛半径( )（A） （B） （C） （D）7幂级数的收敛半径( )（A） （B） （C） （D）8幂级数在内的和函数为（A） （B）（D） (D) 9设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径( )（A） （B） （C） （D）10级数的收敛域是( )（A） （B） （C） （D）不存在的11函数在处的泰勒展开式为( )（A） （B）（C） （D）12函数，在处的泰勒展开式为( )（A） （B）（C） （D）13设在圆环域内的洛朗展开式为，为内绕的任一条正向简
12、单闭曲线，那么( )(A) （B） （C） （D）14若，则双边幂级数的收敛域为( )（A） （B） （C） （D）15设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空题1若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为 2设幂级数与的收敛半径分别为和，那么与之间的关系是 3幂级数的收敛半径 4设在区域内解析，为内的一点，为到的边界上各点的最短距离，那么当时，成立，其中 5函数在处的泰勒展开式为 6设幂级数的收敛半径为，那么幂级数的收敛半径为 7双边幂级数的收敛域为 8函数在内洛朗展开式为 9设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为，那么该洛朗级数
13、收敛域的外半径 10函数在内的洛朗展开式为 三、若函数在处的泰勒展开式为，则称为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定满足的递推关系式，并明确给出的表达式四、试证明12五、设函数在圆域内解析，试证1.2。六、设幂级数的和函数，并计算之值.七、设，则对任意的，在内。八、设在内解析的函数有泰勒展开式试证当时.九、将函数在内展开成洛朗级数.十、试证在内下列展开式成立：其中.第五章 留 数一、选择题：1函数在内的奇点个数为 ( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）42设函数与分别以为本性奇点与级极点，则为函数的( )（A）可去奇点 （B）本性奇点（C）级极点 （D）小于级的极点3设为函数的级极点
14、那么( )（A）5 （B）4 (C)3 （D）24是函数的( )(A)可去奇点 （B）一级极点（C） 一级零点 （D）本性奇点5是函数的( )(A)可去奇点 （B）一级极点（C） 二级极点 （D）本性奇点6设在内解析，为正整数，那么( )（A） （B） （C） （D）7设为解析函数的级零点，那么( )(A) （B） （C） （D）8在下列函数中，的是（ ）（A） （B）（C） (D) 9下列命题中，正确的是( )（A） 设，在点解析，为自然数，则为的级极点（B） 如果无穷远点是函数的可去奇点，那么（C） 若为偶函数的一个孤立奇点，则（D） 若，则在内无奇点10 ( )（A） （B） （C）
15、D）11 ( )（A） （B） （C） （D）12下列命题中，不正确的是( )（A）若是的可去奇点或解析点，则（B）若与在解析，为的一级零点，则（C）若为的级极点，为自然数，则（D）如果无穷远点为的一级极点，则为的一级极点，并且13设为正整数，则( )(A) （B） （C） （D）14积分( )（A） （B） （C） （D）15积分( )（A） （B） （C） （D）二、填空题1设为函数的级零点，那么 2函数在其孤立奇点处的留数 3设函数，则 4设为函数的级极点，那么 5双曲正切函数在其孤立奇点处的留数为 6设，则 7设，则 8积分 9积分 10积分 三、计算积分四、利用留数计算积分五、利用
16、留数计算积分六、利用留数计算下列积分： 七、设为的孤立奇点，为正整数，试证为的级极点的充要条件是，其中为有限数八、设为的孤立奇点，试证：若是奇函数，则；若是偶函数，则九、设以为简单极点，且在处的留数为A，证明.十、若函数在上解析，当为实数时，取实数而且，表示的虚部，试证明第一章 复数与复变函数一、1（B） 2（A） 3（D） 4（C） （B） （A） （D） （B） （D） 10（C）11（B） 12（C） 13（D） 14（C） 15（A）二、1 2 3 4 5 （或 ） 10三、（或）四、当时解为或当时解为.六、像的参数方程为表示平面上的椭圆.十、1在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；
17、2 在复平面处处连续. 第二章 解析函数一、1（B） 2（B） 3（D） 4（C） （A） （C） （C） （C） （A） 10（D） 11（A） 12（C） 13（D） 14（B） 15（C）二、填空题1 2常数 3可微且满足4 5或，为实常数 67 89 10四、1 2五、,.七、.为任意实常数.十、.第三章 复变函数的积分一、1（D） 2（D） 3（B） 4（C） （B） （A） （C） （A） （A） 10（C）11（C） 12（D） 13（D） 14（C） 15（B）二、12 2 30 4 5 6平均值7解析 8 9 10三、1当时，； 当时，； 当时，.2.六、.七、.八、.十、（
18、为任意实常数）.第四章 级 数一、1（C） 2（C） 3（D） 4（A） （D） （D） （B） （A） （C） 10（B） 11（D） 12（B） 13（B） 14（A） 15（C）二、1发散 2 3 4或（）5 6 7 8 9 10三、， .六、，.九、.第五章 留 数一、1（D） 2（B） 3（C） 4（D） （B） （C） （A） （D） （C） 10（A） 11（B） 12（D） 13（A） 14（B） 15（C）二、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10三、.四、.五、.六、 .32精心整理习题一答案1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）（2）（3）（4）解：
19、1），因此：，（2），因此，（3），因此，（4）因此，2 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）3 求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4 设试用三角形式表示与解：，所以，5 解下列方程：（1）（2）解：（1）由此，（2），当时，对应的4个根分别为：6 证明下列各题：（1）设则证明：首先，显然有；其次，因固此有从而。（2）对任意复数有证明：验证即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。（3）若是实系数代数方程的一个根，那么也是它的一个根。证明：方程两端取共轭，注
20、意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，由此得到：由此说明：若为实系数代数方程的一个根，则也是。结论得证。（4）若则皆有证明：根据已知条件，有，因此：，证毕。（5）若，则有证明：，因为，所以，因而，即，结论得证。7设试写出使达到最大的的表达式，其中为正整数，为复数。解：首先，由复数的三角不等式有，在上面两个不等式都取等号时达到最大，为此，需要取与同向且，即应为的单位化向量，由此，8试用来表述使这三个点共线的条件。解：要使三点共线，那么用向量表示时，与应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差或的整数倍，再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍，至此得到：三个点共线的条件是为实数。9写出过两
21、点的直线的复参数方程。解：过两点的直线的实参数方程为：，因而，复参数方程为：其中为实参数。10下列参数方程表示什么曲线？（其中为实参数）（1）（2）（3）解：只需化为实参数方程即可。（1），因而表示直线（2），因而表示椭圆（3），因而表示双曲线11证明复平面上的圆周方程可表示为，其中为复常数，为实常数证明：圆周的实方程可表示为：，代入，并注意到，由此，整理，得记，则，由此得到，结论得证。12证明：幅角主值函数在原点及负实轴上不连续。证明：首先，在原点无定义，因而不连续。对于，由的定义不难看出，当由实轴上方趋于时，而当由实轴下方趋于时，由此说明不存在，因而在点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证
22、13函数把平面上的曲线和分别映成平面中的什么曲线？解：对于，其方程可表示为，代入映射函数中，得，因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得即表示一个圆周。对于，其方程可表示为代入映射函数中，得因而映成的像曲线的方程为，消去参数，得，表示一半径为的圆周。14指出下列各题中点的轨迹或所表示的点集，并做图：解：（1），说明动点到的距离为一常数，因而表示圆心为，半径为的圆周。（2）是由到的距离大于或等于的点构成的集合，即圆心为半径为的圆周及圆周外部的点集。（3）说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。代入化为实方程得（4）说明动点到和的距离相等，因而是和连线的垂直平分线，即轴。（
23、5），幅角为一常数，因而表示以为顶点的与轴正向夹角为的射线。15做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。（1），以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通（2），顶点在原点，两条边的倾角分别为的角形区域，无界，单连通（3），显然，并且原不等式等价于，说明到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3连线的垂直平分线即2.5左边部分除掉2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。（4），显然该区域的边界为双曲线，化为实方程为，再注意到到2与到2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。（5），代入，
24、化为实不等式，得所以表示圆心为半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。习题二答案1 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。（1）（2）（3）（4）解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：（1）处处解析，（2）处处解析，（3）的奇点为，即，（4）的奇点为，2 判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。（1）（2）（3）（4）解：根据柯西黎曼定理：（1），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西黎曼方程解得：，因此，函数在点可导，函数处处不解析。
25、2），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西黎曼方程解得：，因此，函数在直线上可导，因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。（3），四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，并且处处满足柯西黎曼方程因此，函数处处可导，处处解析，且导数为（4），因函数的定义域为，故此，处处不满足柯西黎曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。3 当取何值时在复平面上处处解析？解：，由柯西黎曼方程得：由（1）得，由（2）得，因而，最终有4 证明：若解析，则有证明：由柯西黎曼方程知，左端右端，证毕。5 证明：若在区域D内解析，且满足下列条件之一，则在D内一定为常数。（1）在D内解析，（2）在D内为常数，（
26、3）在D内为常数，（4）（5）证明：关键证明的一阶偏导数皆为0！（1），因其解析，故此由柯西黎曼方程得-（1）而由的解析性，又有-（2）由（1）、（2）知，因此即为常数（2）设，那么由柯西黎曼方程得，说明与无关，因而，从而为常数。（3）由已知，为常数，等式两端分别对求偏导数，得-（1）因解析，所以又有-（2）求解方程组（1）、（2），得，说明皆与无关，因而为常数，从而也为常数。（4）同理，两端分别对求偏导数，得再联立柯西黎曼方程，仍有（5）同前面一样，两端分别对求偏导数，得考虑到柯西黎曼方程，仍有，证毕。6 计算下列各值（若是对数还需求出主值）（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2
27、为任意整数，主值为：（3），为任意整数主值为：（4）（5），为任意整数（6），当分别取0，1，2时得到3个值：，7 求和解：，因此根据指数函数的定义，有，（为任意整数）8 设，求解：，因此9 解下列方程：（1）（2）（3）（4）解：（1）方程两端取对数得：（为任意整数）（2）根据对数与指数的关系，应有（3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为因此即，为任意整数（4）由双曲函数的定义得，解得，即，所以，为任意整数10证明罗比塔法则：若及在点解析，且，则，并由此求极限证明：由商的极限运算法则及导数定义知，由此，11 用对数计算公式直接验证：（1）（2）解：记，则（1）左端，右端，其
28、中的为任意整数。显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在时的值为，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。（2）左端右端其中为任意整数，而不难看出，对于左端任意的，右端取或时与其对应；反之，对于右端任意的，当为偶数时，左端可取于其对应，而当为奇数时，左端可取于其对应。综上所述，左右两个集合中的元素相互对应，即二者相等。12 证明证明：首先有，因此，第一式子证毕。同理可证第二式子也成立。13 证明（即）证明：首先，右端不等式得到证明。其次，由复数的三角不等式又有，根据高等数学中的单调性方法可以证明时，因此接着上面的证明，有，左端不等式得到证明。14 设，证明证明：由复数的三角不等式，有，由已
29、知，再主要到时单调增加，因此有，同理，证毕。15 已知平面流场的复势为（1）（2）（3）试求流动的速度及流线和等势线方程。解：只需注意，若记，则流场的流速为，流线为，等势线为，因此，有（1）流速为，流线为，等势线为（2）流速为，流线为，等势线为（3）流速为，流线为，等势线为习题三答案1 计算积分，其中为从原点到的直线段解：积分曲线的方程为，即，代入原积分表达式中，得2 计算积分，其中为（1）从0到1再到的折线（2）从0到的直线解：（1）从0到1的线段方程为：，从1到的线段方程为：，代入积分表达式中，得；（2）从0到的直线段的方程为，代入积分表达式中，得，对上述积分应用分步积分法，得3 积分，其
30、中为（1）沿从0到（2）沿从0到解：（1）积分曲线的方程为，代入原积分表达式中，得（2）积分曲线的方程为，代入积分表达式中，得4 计算积分，其中为（1）从1到+1的直线段（2）从1到+1的圆心在原点的上半圆周解：（1）的方程为，代入，得（2）的方程为，代入，得5 估计积分的模,其中为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。解：在上，=1，因而由积分估计式得的弧长6 用积分估计式证明：若在整个复平面上有界，则正整数时其中为圆心在原点半径为的正向圆周。证明：记，则由积分估计式得，因，因此上式两端令取极限，由夹比定理，得，证毕。7 通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分曲线皆为。（1）（2）（3）（4）（5）解：各积分的被积函数的奇点为：（1），（2）即，（3）（4）为任意整数，（5）被积函数处处解析，无奇点不难看出，上述奇点的模皆大于1，即皆在积分曲线之外，从而在积分曲线内被积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值
