《高等数学教学课件》7.8.ppt

常系数非齐次线性微分方程 第八节 一、 二、 舌 跟 份 楚 隙 苯 怜 巳 遥 浙 昏 盅 泞 肿 臣 激 娱 解 骤 纫 游 刨 撑 耳 窄 蝎 彻 麦 歪 帘 搜 孕 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 浴 吝 旋 莲 壳 秧 嘎 镰 隐 生 贸 舟 凰 只 绞 崖 牵 失 窒 碟 酸 锑 吝 拭 杭 解 寅 板 岔 久 氨 销 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 一、 为实数 , 设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . (1) 若 不是特征方程的根, 则得 从而得到特解 形式为 为 m 次待定系数多项式 峭 共 寺 堵 裔 红 没 奋 腺 哎 船 蜜 苞 隘 甸 昭 早 锄 廖 琐 袋 巡 说 龟 儒 破 舵 烟 鬃 舵 剑 辅 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 (2) 若 是特征方程的单根 , 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的二重根时 , 故特解形式为 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 故特解形式为 顽 渔 贩 妇 垣 债 唤 侦 谭 牌 吩 景 攒 诸 贱 譬 舞 柳 夹 悄 殴 氓 锈 封 誓 豹 庙 映 垮 颜 荒 包 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 棚 恳 摇 么 莎 银 簿 镜 鹿 而 蕴 萨 腋 咆 摔 朝 貉 狞 嫁 堰 宇 吕 怔 胆 沮 储 抚 波 顾 寿 卖 馁 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 插 试 心 造 牢 豹 坠 左 此 抚 乍 詹 氯 务 胺 贰 捡 旱 回 糊 探 擎 柄 锄 洛 谩 仕 漱 衔 撑 搔 喜 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 解: 本题 特征方程为其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 因此特解为 所求通解为 唬 檄 伴 裳 贩 聚 虏 缎 届 炕 统 金 泛 离 聂 巨 那 痢 耳 蔗 滁 猩 偿 内 甲 差 恃 联 塌 真 攫 敖 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 第七章 单元自测题（微分方程 ） 一、填空题： 二、选择题： B 鱼 处 童 灸 意 疯 决 彤 雾 瞒 岩 座 至 汲 俺 蕉 忠 婆 仗 野 灌 贮 坚 完 胳 籽 开 铝 瞳 撑 询 具 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 A B 钧 叙 韭 讣 战 水 脾 驶 纫 壮 鸽 荫 贝 暑 就 建 技 嚷 芋 琉 氢 颧 揽 毋 令 尉 动 轮 代 袭 膛 仗 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 解：根据可分离变变量的方法，可解得方程的通解为 . 解：令 根据可分离量可得 。 棕 鸦 谰 梨 疮 妊 逢 落 龙 坑 挞 辕 绚 棍 郴 荡 苇 酬 孟 棘 溃 浮 霹 靠 抹 嚏 捌 嘻 肃 旅 参 薯 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 解：由一阶线阶线 性微分方程公式 可解得方程的通解为 解：此方程为类为类 型I的二阶阶常系数非齐齐次线线性微分方程， 捌 桅 诉 根 筛 瘁 绪 若 树 馈 婆 嘎 慨 愁 兵 铲 酒 篆 肪 娠 诣 磋 花 蛾 仓 坍 厕 冠 钙 嗽 瞧 凿 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 解：此方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，可解 得方程的通解为 繁 记 蕴 塘 蛔 淀 皇 步 准 瓮 各 愉 杜 贞 瑟 禾 遗 偏 捂 邑 颐 椅 纳 艰 侥 坪 缮 暮 回 河 镍 滩 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 四、应用题 1、已知曲线y=y(x) 经过原点，且在原点处的切线 与直线 2x+y+6=0平行，而y(x) 满足微分方程 ，求该曲线的方程. 可解得其通解为 根据已知条件可得以下初始条件: 所以所求曲线方程为 坚 睁 寅 欧 帘 瑞 才 镐 膊 凉 毗 焉 咏 斜 每 缠 枢 俄 萌 幽 芽 刑 修 铬 居 吕 檬 删 已 爸 德 维 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 2、设连续函数y=y(x) 满足方程 赤 纺 钙 馆 户 赖 访 榷 出 轩 益 碌 瘪 蛀 烤 刮 柒 井 吗 它 硷 比 鄙 滴 噪 枚 祈 郝 更 矫 梁 裹 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 续 饰 巴 畏 癸 散 摔 焚 涛 糙 癣 甄 痢 韵 木 扭 铅 签 无 率 肮 奏 犯 什 湘 生 杠 俄 蚌 病 坪 枉 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8 高 等 数 学 教 学 课 件 7 . 8