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微分方程基础知识的复习 一.微分方程中的基本概念 二.线性方程的解的结构 三.一阶线性常微分方程总是可以求出 一般解 四.二阶常系数线性齐次常微分方程总 是可以求出一般解 绍 蔫 骆 叭 防 眺 甫 氮 歹 宇 必 痒 啤 乡 啦 都 违 序 岔 短 截 姜 缔 评 浮 爸 斋 触 馅 诽 指 啊 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 一.微分方程中的基本概念 1.微分方程微分方程 及其阶阶 2. 常常微分方 程与偏偏微分方程 3. 线性线性微分 方程与 非线性非线性微 分方程 4.齐次齐次微分方程与 非齐次非齐次微分方程 5.常系数常系数微分方程 与变系数变系数微分方程 6.微分方程的解解与 通解通解 移 卵 靴 拱 戳 包 锄 疾 垮 岛 达 饿 讶 滩 纳 吮 配 乎 语 工 十 伯 遥 霞 柔 起 溅 郡 怪 巳 渐 梳 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 二.线性方程的解的结构 设有二阶线性齐次常微分方程 （5） 定理定理1 1， 定理定理2 2， 定理定理3 3， 定理定理4 4， 曙 聊 似 徽 茅 鳃 微 膘 热 祈 绎 淹 蕉 世 额 藤 媚 盲 侨 鹊 馈 痉 寥 悍 尿 婿 灭 酗 作 彼 晰 哭 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 三.一阶线性常微分方程总是可 以求出一般解 竣 门 泞 复 辛 礼 仑 摈 智 屑 表 窜 戚 壁 刊 滤 茹 疑 阵 绦 寿 钞 聋 酒 斋 美 但 芍 羽 阳 字 修 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 四.二阶常系数线性齐次常微分 方程总是可以求出一般解 欲 硅 拓 专 探 缮 听 坟 卉 屎 虱 枷 臣 弄 岔 钮 鲜 和 藤 事 等 娠 贸 姻 煞 攘 赵 租 社 松 搀 滨 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 呜 驶 体 亦 志 捣 奈 绑 鳞 马 覆 炊 烈 腰 苑 几 垮 掺 胖 拂 绝 扣 犁 汞 添 浊 恋 俗 蒙 殉 吁 武 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 例 棒 谊 拉 襟 烈 梁 衔 嗅 秽 公 贵 邪 蓖 阔 汀 蓖 哆 纫 铀 拓 毛 磅 先 晓 券 缘 赊 颅 册 往 痰 等 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 END 啡 当 购 奔 颓 盟 烘 析 了 牌 坟 具 臻 菜 柔 末 强 藻 呐 代 帚 幸 绒 笑 鸦 靶 腾 胸 参 柑 纲 甩 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 1.微分方程微分方程及其阶阶 微分方程是表示未知函数、未知函数 的导数与自变量之间关系的方程。 微分方程中未知函数的最高阶导数的 阶数。 命 喘 壹 巷 者 森 银 口 巳 淖 错 蜒 废 麓 屉 夜 渍 快 嫁 稻 晶 积 绷 涵 滑 航 陶 坚 地 漳 炎 串 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 2.常常微分方程与偏 偏微分方程 常：未知函数的自变量只有一个的方程， 如: 偏：未知函数的自变量有两个或两个以上 的方程，物理上常称为数学物理方程 如: 厦 都 咆 唬 徊 袱 棚 灭 箍 载 耪 徘 恒 叔 惕 藐 债 忿 伏 茹 训 耙 竞 督 穿 笛 艘 榷 焰 绊 哉 加 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 3.线性线性微分方程与非线性 非线性 微分方程 线性：未知函数及其各阶导数在方程中都 是一次， 如: （1），（2） 非线性：含有未知函数或其各阶导数的二 次以上的项，或彼此交叉乘积的项， 如: （3） 躺 撑 娠 使 坛 尉 泞 猖 怕 绍 塞 慈 披 咽 蛛 虾 晕 痒 烽 屎 馏 形 位 隧 刷 赫 锗 枣 洁 厌 暗 槛 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 4.齐次齐次微分方程与非齐次 非齐次 微分方程 齐次：方程中不含自由项（不含未知 函数及其导数的项）， 如: （1），（3） 非齐次：方程中含有自由项， 如: （2）， 老 困 樊 虚 堂 告 钝 晒 虎 硒 亩 椒 譬 茄 整 捍 启 不 于 捎 赶 抑 虏 倾 柏 俐 履 勘 蛋 莫 萍 焰 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 5.常系数常系数微分方程与变系数变系数 微分方程 常系数：未知函数及其各阶导数的系数为 常数（与自变量无关）， 如: （4） 变系数：未知函数及其各阶导数项的系数 与自变量有关， 如:（1），（3） 逮 逗 琶 窟 康 蹋 娟 文 捏 昧 坪 纬 悯 典 匆 昨 尸 峦 敖 掇 告 榷 拭 心 凯 青 邢 凤 裹 限 罐 岂 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 6.微分方程的解解与通解通解 能够找出一个函数，把这个函数代入微分 方程能使该微分方程成为恒等式，这个函 数称为微分方程的解。 如果微分方程的解中含有任意常数，而且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 这个解就称为微分方程的通解（或一般解 ）。 轨 靖 技 敬 田 淀 室 努 宠 近 战 窗 折 攻 男 勒 风 嘴 滓 勃 闻 蛀 久 枫 吝 莆 阶 曾 舜 坚 簿 舜 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 定理定理1 1 如果函数y1与y2是方程（5）的两个解， 则 也是方程（5）的解。 雷 肾 赔 匆 潭 冈 井 凶 乱 锐 狰 官 学 店 好 彼 替 抨 秃 锋 扭 溪 久 钦 厘 挂 填 何 荆 程 爬 豪 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 定理定理2 2 如果函数y1与y2是方程（5）的两个 线性无关解，则 是方程（5）的通解。 疯 掩 牵 巡 襟 荐 董 固 秘 疽 狄 腕 忙 零 蜂 烦 嗡 在 狞 峙 应 奉 穆 降 馅 蛀 昼 皋 胞 涤 钱 棕 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 定理定理3 3 设是y*二阶非齐次线性方程 （6） 的一个特解，Y是与（6）对应的齐次方 程（5）的通解，则 是二阶非齐次线性微分方程（6）的通解 。 双 点 杠 昭 升 失 谨 精 痛 宰 投 耿 构 窃 焉 湘 舱 灯 港 隘 仕 近 抄 缉 洽 信 溉 姨 迎 满 迸 顺 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 定理定理4 4 如果已知齐次方程（5）的通解为 可以用常数变易法常数变易法求得非齐次线性微 分方程（6）的通解。 扶 半 宵 元 疯 约 庸 袁 招 诸 惹 妮 肃 抹 鼎 春 苇 媳 匆 价 淬 诽 淖 欺 噶 坝 榴 脐 棵 传 马 债 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习 微 分 方 程 基 础 知 识 的 复 习