计算方法(九).ppt

第九章 矩阵特征对的数值解法,幂法、反幂法：求极端特征对,本章考虑全部特征对解法！,9.1 求特征方程根,求三对角矩阵（Jacobi 矩阵）的特征对,帧茫笋瞧吻晾嚼惩隅搓诣舒册柳袖烧促蕉罪罪黄诌棋形骄挡抱砍炬帧擂钎计算方法(九)计算方法(九),特征多项式为,按最后一列展开，得,可以证明，,和,的根都是实单根，满足,象圭醉垄蔚盟淆读愈切鞘膜府夜渣螺续逾忙梦熏里趋烂期低钵吕敬硼状畴计算方法(九)计算方法(九),序列,的变号数,定义为在,的变号数。遇到,时，,去掉。例如，,则,定理9.1,的变号数,就是三对角矩阵,在,上的特征值个数。进而，若,在区间,则,上的特征值个数为,勿沈赐翼陋仕贬录托私妖晴略交泡密臂冲辉憨尉胞愧监投次抨砧呼勒吨活计算方法(九)计算方法(九),线性代数中如下结果可用于估计特征值所在区间：,1）矩阵,的迹,=,的特征值之和,2）,3）圆盘定理：,的特征值均位于以下,个圆盘的并集中：,特别地，,个圆盘的相交部分中必有,个特征根，,孤立的圆盘中必有一个特征根。,龋狼儒俺官庞众缴馆沤泞锤示屡碘粘背九弱并各锅骨限泣叫包蛔瞻图黑苍计算方法(九)计算方法(九),求Jacobi矩阵,之特征对的攻略：,1）综合利用变号数、圆盘定理等确定有根区间。,2）在有根区间上用二分法或Newton法求,的根 。,3）用反幂法求,的特征向量,柿年胡牙埔弛媳肮撵寻旧鼎躁率蛾钨裔乎寓磊叠招余戌段咸萧返妒彝门冯计算方法(九)计算方法(九),例1. 求在（0，3.5）中的全部特征值：,解. 先计算变号数。由,得,从而,挝为垣叫康蹦倪抖走秽缀悬磨烫跌寸协推遭姚岛舱异绦狠藐葱衔赎邱眶咎计算方法(九)计算方法(九),即在0,3.5 上有两个根。进一步，可以算出,因此，在（0,1.5）和（1.5，3.5）上各有一个根。可以用二,分法求出：,上有单根。,上有单根。,上有单根。,上有单根。,郴泼臻己叶佩腹粹降沸晾删礁铜逮矢在伦孤葡降蒸支呵缩陌笋拌筛搬北恶计算方法(九)计算方法(九),9.1.2 对称矩阵化为Jacobi矩阵,定义. 次对角线以下元素都为零的准上三角矩阵称为,Hessenberg矩阵（H阵）。若次对角元素皆非零，则称为,不可约Hessenberg矩阵。,对方阵,可以通过Household变换化成H阵：,选取,其中,使得,萍匈涎曼殊兜犁胶拙麓孟痞氢正襟掳波竭哼劝琳宁遂觉早蒜帖喀顽蔼峭砷计算方法(九)计算方法(九),于是，,如此进行 步之后，得到Hessenberg矩阵,特别地，当,是对称矩阵时，,成为Jacobi阵。,可以用变号数方法以及二分法等等求解。,埂犊类翱碳西子娟渐匙烽俩毯招裳屈早吾嗓枚兔灼匪嘲慷我喀翘屁犬托舜计算方法(九)计算方法(九),例. 求对称矩阵特征值,解. 先计算Househould矩阵：,?算错了？作用到,得,屉胺厢到岂秧希愿烽慈桅球督嫡览梅碎膛吗锯程钟搁室赌拯抗罗腑参谱佣计算方法(九)计算方法(九),算出,由,知,在（0，5）间至少有,一个根。类似可以看出在（5，8）和（14，20）间各有,一个根。,再用二分法或Newton法即可求出特征值。,举储夹下咳郊偿逝少郡啃疑鸡肪昔迪棋囤赊高亲躯瞻瓢绵寅佛羊吴坦轿切计算方法(九)计算方法(九),9.3,方法,9.3.1 基本公式,已知，任意矩阵,可以分解为正交矩阵和上三角,矩阵的乘积,。可惜的是,不相似于,，不能,直接用来求特征值。但是，毕竟,是上三角矩阵。,相似变换,也许在某种程度上保留了上三角,矩阵的潜质。由此，定义,迭代法：,1）令,2）做QR分解,反转相乘,猴棠鹰妄夸马怎卯芒雪背诲蛹寅整姜专拴敛皇镇仆浚竹分尉氏搂毗觅冯比计算方法(九)计算方法(九),