1、利用勾股定理求解几何体的最值问题BAAB利用勾股定理求解几何体的最值问题BAAB利用勾股定理求解几何体的最值问题 探求最值是初中数学中的一种常见题型，而用勾股定理求立体图形中的最值，是近年来中考的热点问题之一，对这类问题，我们应该学会分析、观察图形，从中找出解题途径。今天我们来学习用勾股定理解决几何体的最值问题。利用勾股定理求解几何体的最值问题一、圆柱(锥)中的最值问题 例1 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB利用勾股定理求解几何体的最值问题一、圆柱(锥)中的最值问题 例1 有一圆形油罐底面圆的周长为24m
2、高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB 分析 由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形。根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线。(如图)：利用勾股定理求解几何体的最值问题一、圆柱(锥)中的最值问题 例1 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB 分析 由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形。根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24
3、m的中点处，即AB长为最短路线。(如图)：解：AC=6 1=5，BC=24 =12，由勾股定理得 AB=13(m).21利用勾股定理求解几何体的最值问题一、圆柱(锥)中的最值问题 例2 壁虎在一座底面半径为2m，高为4m的油罐下底边沿A处发现它的正上方油罐边沿的B处有一只害虫，便决定捕捉它，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕关油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突袭，结果偷袭成功，壁虎获得了一顿美餐，请问壁虎至少要爬行多少路线才能捕到害虫？AB 分析 由于壁虎是沿着油罐表面爬行，并是沿一条螺旋路线，从背后突袭，我们可以发现壁虎所走路线是以圆柱侧面展开图为矩形的对角线长。AB=AC2
4、BC2 =(2 2)2+42=13.2 利用勾股定理求解几何体的最值问题二、长方体、正方体中的最值问题 例3 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3 （B）5 （C）2 （D）1AB 分析 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图所示）。：5利用勾股定理求解几何体的最值问题二、长方体、正方体中的最值问题 例4 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=4,CC1=5,一只小虫同A处出发沿长方体表面爬行到C1，这时小虫爬行的最短路长的长度是（）AB34CD5A1B1C1D1 解：根据长方体的
5、对称性，小虫爬行的较短路径有下面三种情况：(1)AC1=32+92=90 ;(2)AC1=42+82=80 ;(3)AC1=52+72=74 ;比较三种结果，显然小虫爬行的最短路径的长度为74 .利用勾股定理求解几何体的最值问题巩 固 练 习 1.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214 分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.：ABDCD1C1421 AC1=42+32=25 ;ABB1CA1C1412 AC1=62+
6、12=37 ;AB1D1DA1C1412 AC1=52+22=29 .利用勾股定理求解几何体的最值问题巩 固 练 习 2.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？201015BCA 分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图),由勾股定理可求得图1中AB最短.：BA2010155AB=202+152=625 BAB=102+252=725 A2010155利用勾股定理求解几何体的最值问题巩 固 练 习 3.如图，长方体箱子ABCD-A1B1C1D1,长为100cm，宽为100
7、cm，高为50cm,箱子顶部在点B和DA的中点E之间绷紧着一根琴弦，一只蚂蚁从底部A1B1的中点M出发，沿着箱子外壁爬向琴弦(可以爬上顶部)，则它至少需爬行 cm才能触到琴弦.(答案需为整数).A1B1ABDCC1EMD110010050 分析 根据题意和图形，显然蚂蚁先爬长方形A1B1BA;A1B1ABM50100CDE50 再爬长 方形ABCD触到琴弦,把长方形ABCD竖起来;于是就得到A1B1CD.根据点到直线“垂线段最短”，过点M作MN BE，垂足为N.连结MB、ME，则:NsBME=s梯形BB A E-sEA M-sBB M=(100+50)100-10050-5050 21212121=100 50 又 BE=502+1002=505 ，sBME=BEMN21 21 BEMN=10050,MN=305=68(CM)21所以蚂蚁至少需爬行68cm才能触到琴弦。利用勾股定理求解几何体的最值问题小小 结：结：把几何体适当展开成平面图形，再利用把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线两点之间线段最短段最短”，或点到直线，或点到直线“垂线段最短垂线段最短”等性质来解决问题。等性质来解决问题。
