1、 为了以后学习研究微积分，我们需要引入性质更好的一类函数，即所谓的连续函数.本课程所研究的函数，基本上都是连续函数.连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，这方面的实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的连续增长、物体运动的路程、气温的变化等等.在建立函数连续性定义之前，我们引入增量的概念.函数的连续性函数的连续性一、函数的连续性一、函数的连续性关于增量有如下定义：理解增量概念时要注意三点:2.连续的定义连续的定义证例2证这是三角函数和差化积例例证证由定义由定义2知知 v 前者在点x0可以没有定义，后者必须有定义.v 设xx0时，f(x)A，后者必须满足 A=f(x0)比较极限和连续的定义
2、两者有什么区别思考题：这个等式的成立意味着在函数连续的前提下,极限符号与函数符号可以互相交换.这一结论给我们求极限带来很大方便.(1.6.3)4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.初等函数的连续性初等函数的连续性一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,二、复合函数的连续性二、复合函数的连续性定理定理3 3意义意义1.在定理的条件下，极限符
3、号可以与函数符在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，接取在内层，注注1.定理的条件：定理的条件：内层函数有极限，外层函数内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续在极限值点处连续例例1 1解解v 基本初等函数在其定义域内都是连续的.v 由基本初等函数经过四则运算以及复合步骤所构成的初等函数在其定义域内都是连续的.v 求初等函数的连续区间就是求其定义域.v 求初等函数在其定义域内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值即可.我们不加证明地指出如下重要事实解(1)所以其定义域为所以课堂练习解答：上述三个条件中只要
4、有一个不满足，则称函数f(x)在点 x0 处不连续（或间断），并称点x0为f(x)的不连续点（或间断点）.二、函数的间断点二、函数的间断点定义1.19yxo-1解所以所以点 x=-1 称为 f(x)的无穷间断点.1.跳跃间断点跳跃间断点例例5 5解解解xyof(x)在 x=0 处极限不存在，所以 x=0 是 f(x)的一个间断点.如图所示，这样的间断点称为跳跃间断点.2.可去间断点可去间断点例例6 6解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例6中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳
5、跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点解即 只要在点x=-2改变定义或补充定义,就可以使f(x)在该点连续.yo-4-22x4 因此,称x-2时函数极限存在的点x=-2为 可去间断点.例 9 已知函数在点 x=0 处连续，求 b 的值.解因为 f(x)在 x=0 处连续,等价于即b=13.第二类间断点第二类间断点例例7 7解解例例8 8解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷
6、型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx例例9 9解解例例10 讨论讨论若有若有间断点判别其类型，并作出图形间断点判别其类型，并作出图形解解三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;间断点间断点第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.(见下图见下图)第第一一类类间间断断点点oyx可去型可去型oyx跳跃型跳跃型第第二二类类间间断断点点oyx无穷型无穷型oyx振荡型振荡型思考题思考题思考题解答思考题解答且且但反之不成立但反之不成立.例例但但
