1、 读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.图1-1图1-2 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”即：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股勾股定理定理”或“商高定理商高定理”勾股定
2、理勾股定理勾勾股股弦弦 在西方，希腊数学家欧几里德（公元前三在西方，希腊数学家欧几里德（公元前三百年左右）在编著百年左右）在编著几何原本几何原本时，认为这个时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为个定理称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流传，以后就流传开了。开了。毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希腊数学）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。百多年。相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明
3、后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有又有“百牛定理百牛定理”之称。之称。学习目标学习目标探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理，探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理，并利用勾股定理进行计算。并利用勾股定理进行计算。毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元前公元前572-前前492年年),古希腊著名的哲学家、古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。数学家、天文学家。相传在相传在2500年前，年前，毕达哥拉斯毕达哥拉斯有有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系
4、我们一起来观察图中的某种数量关系，我们一起来观察图中的地面，看看能发现什么。地面，看看能发现什么。A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？直角三角形三边有什么关系？ABCabcABC图11（1）观察图）观察图11：正方形正方形A中含有中含有 个小个小方格，即方格，即A的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形B中含有中含有 个小个小方格，即方格，即B的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形C中含有中含有 个小个小方格，即方格，即C的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；99991818A的面积的面积+B的面积的面积=C的面积的面积图
5、12ABC（2）观察图）观察图12：正方形正方形A中含有中含有 个小个小方格，即方格，即A的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形B中含有中含有 个小个小方格，即方格，即B的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；正方形正方形C中含有中含有 个小个小方格，即方格，即C的面积是的面积是 个单位面积；个单位面积；444488A的面积的面积+B的面积的面积=C的面积的面积 因此可知等腰直角三角形有这因此可知等腰直角三角形有这样的性质：样的性质：对于任意直角三角形都有这样的性质吗对于任意直角三角形都有这样的性质吗？两直边的平方和等于斜边的平方两直边的平方和等于斜边的平方看下图看下图ABC
6、图图1-2ABC图图1-32观察右边两个图观察右边两个图并填写下表：并填写下表：A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积图图1-2图图1-3169254913你是怎样得到你是怎样得到表中的结果的？与表中的结果的？与同伴交流交流同伴交流交流做做 一一 做做那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？ABC图图1-2ABC图图1-33三个正方形三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？面积之间有什么关系？SA+SB=SC即：两条直角边上的正即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边方形面积之和等于斜边上的正方形的面积上的正方形的面积议议 一一 议议ac
7、b命题命题：如果直角三角形的两直角边长分：如果直角三角形的两直角边长分别为别为a a、b b，斜边长为斜边长为c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2。cab 看左边的图案，这个图案是看左边的图案，这个图案是公元公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注世纪我国汉代的赵爽在注解解周髀算经周髀算经时给出的，人们时给出的，人们称它为称它为“赵爽弦图赵爽弦图”赵爽根据赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正正方形，中间的部分是一个小正方形方形（黄色）（黄色）cba 是不是所有的直角三角
8、形都具有这样的特点呢？这就是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明到目前为止，需要我们对一个一般的直角三角形进行证明到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多下面我们就来看对这个命题的证明方法已有几百种之多下面我们就来看一看我国汉代数学家赵爽是怎样证明这个命题的一看我国汉代数学家赵爽是怎样证明这个命题的cba用赵爽弦图证明勾股定理用赵爽弦图证明勾股定理=证法一：证法一：ba美国总统的证明加菲尔德（James A.Garfield；1831 1881）1881 年成为美国第 20 任总统1876 年提出有关证明证法二：证法二：aabbcc伽菲尔德证
9、法伽菲尔德证法:a2+b2=c2 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜斜边为边为c，那么那么a2+b2=c2文字语言文字语言:直角直角三角形三角形两直角边的平方和两直角边的平方和等于等于斜斜边的平方边的平方.勾股定理勾股定理cab几何语言：几何语言：在在Rt ABC中中,C=90,a2+b2=c2abcc2=a2+b2a2=c2 b2b2=c2 a2结论变形结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；a2+b2=c2勾股定理勾股定理C ABcba形形数数例例1求出下列直角三角形中未知边的长度求出下列直角三角形中未知边的长度68x5x13解：（解：（1）在
10、在RtABC中中,由由勾股定理得：勾股定理得：AB2=AC2+BC2X X2 2=36+64=36+64x x2 2=100=100 x x2 2=6=62 2+8+82 2 x=10 x=10 x0 x0 x x2 2+5+52 2=13=132 2 x x2 2=13=132 2-5-52 2x x2 2=144=144 x=12x=12（2）在在RtABC中中,由由勾股定理勾股定理:AB2+AC2=BC2x0 x0ACBACB.在在RtABCRtABC中，中，=90=90.(1)(1)已知：已知：a=a=6 6，c c=8=8，求，求b b；(2)(2)已知：已知：a=a=2424，b
11、 b=7 7，求，求c c；(3)(3)已知：已知：c=13c=13，b=5b=5，求，求a a；(4)(4)已知已知:a:ba:b=3:4,c=15,=3:4,c=15,求求a a、b.b.练习练习(1)在直角三角形中在直角三角形中,已知两边已知两边,可求第三边可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法方法小结小结5.5.在一个直角三角形中在一个直角三角形中,两边长分别为两边长分别为6 6、8,8,则则第三边的长为第三边的长为_10 y=0练一练或 课堂练习：课堂练习：一判断题一判断题.1.ABC的两边的两边AB=5,AC=12,则则BC=13()2.ABC的的a=6,
12、b=8,则则c=10()48458302补充练习：补充练习：（1 1）求出下列直角三角形中未知的边）求出下列直角三角形中未知的边在解决上述问题时在解决上述问题时,每个直角三角形需已知每个直角三角形需已知几个条件几个条件?610（2）求）求AB的长的长5.介绍常用的勾股数：（Rt 中)（1）32+42=52 （4）72+242=252（2）52+122=132 （5）82+152=172 （3）62+82=102 （6）92+122=1526.练习（一）：（口答）？13525248155k3k(k0)（2）如图，分别以）如图，分别以Rt ABC三边为边三边为边向外作三个正方形，其面积分别用向外作
13、三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出表示，容易得出S1、S2、S3之间之间有的关系式为有的关系式为 结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7y=0学海无涯（3）变式：你还能求出）变式：你还能求出S1、S2、S3之间之间的关系式吗？的关系式吗？S1S2S3 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长的边长为为7cm，求正方形，求正方形A，B，C，D的面积的和的面积的和思考思考S1S2解：解：SE=49S1=SA+SBS2=SC+SD SA+SB+SC+SD =S1+S2 =SE =4911美丽的勾股树 勾股定理是几何中最重要的定理之勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系量关系.勾股定理：直角三角形两直角边a、b平方和，等于斜边c平方。a2+b2=c2勾股定理的主要作用是勾股定理的主要作用是 在直角三角形在直角三角形中中,已知任意两边求第三边的长。已知任意两边求第三边的长。作业：P69-70 1、2、3。
