勾股定理经典题型.docx
.勾股定理勾股定理及其证明1勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.若用 a、b 为表示两条直角边，222，如图 1 1 1，c 表示斜边， 则 abc其中 ca2 b2 ,b c2 a2 ,a c2 b22勾股定理的证明：勾股定理是通过面积拼图法来证明，其方法较多勾股定理的逆定理1在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，即ABC 中，若 a2b2c2 ，则 ABC 为直角三角形， C= 90o 这是判定一个三角形是直角三角形的方法2应用勾股定理（或逆定理）研究解决问题的关键是发现图中存在的直角三角形或通过添加辅助线，在图中构造出直角三角形，有时还要借助方程、方程组和代数运算；有些代数问题，其数量关系具有“勾股关系”，根据这种关系设计、构造出相应的几何图形，然后借助图形的几何性质去解决代数问题，这就是“数形结合”的思想已知两边求第三边例 1 在直角三角形中 ,若两直角边的长分别为 1cm， 2cm ，则斜边长为 _例 2 已知直角三角形的两边长为3、 2，则另一条边长是 _ 例 3 在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为 3cm，则另一条直角边的长为 .例 4一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5 ，高为 12 ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6 ，问吸管要做多长？利用列方程求线段的长例 5把一根长为10 的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是 9 2，那么还要准备一根长为_的铁丝才能把三角形做好AFD例6如图，将一个边长分别为4、 8 的长方形纸片 ABCD折叠，使 C 点与 A 点重合，则 EB 的长是BEC例7如图，铁路上 A ， B 两点相距 25km， C，D 为两村D庄， DA AB 于 A ， CB AB 于 B，已知 DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收C购站 E，使得 C， D 两村到 E 站的距离相等，则E站应建在离 A 站多少 km 处？AEB例 8如图，某学校（ A 点）与公路（直线L ）的距离为 300 米，又与公路车站（ D 点）的距离为 500 米，现要在公路上建一个小商店（ C 点），使之与该校A 及车站 D 的距离相等，求商店与车站之间的距离综合其它考点的应用例 9如图一个圆柱，底圆周长6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到 B 点，则最少要爬行cmBA例 10在直角ABC 中，斜边长为2，周长为2+6 ，求 ABC 的面积.例 11 已知：如图， ABC 中， AB AC ，AD 是 BC边上的高求证： AB 2-AC 2=BC(BD-DC) 例 12 如图 B=90o，AB 16cm，BC 12cm，AD 21cm,CD=29cm求四边形 ABCD 的面积例 13 小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1 米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5 米，你能帮它计算一下旗杆的高度判别一个三角形是否是直角三角形例 14 在 ABC 中， a : b : c1: 1: 2 ，那么 ABC 是。例 15如图，四边形 ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 BC 上一点，且 CE1 BC 你能说明 AFE 是直角吗？4开放型试题例 16在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示 )已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、 2、 3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、 S2、S3、 S4，则 S1 S2 S3 S4 _231S4SS2S31l.例 17如图，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、(1)S2、 S3 表示，则不难证明 S1=S2+S3 .S 、S 、如图， 分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形， 其面积分别用12S3 表示，那么 S1、 S2、 S3 之间有什么关系？ (不必证明 )(2)如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、(3)S2、 S3 表示，请你确定 S1、 S2、 S3 之间的关系并加以证明；S 、S 、S若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用123表示，请你猜想S1、S2、 S3 之间的关系 ?.1.在 ABC 中， AB=15 ， AC=13 ，高 AD=12 ，则 ABC 的周长是。2.分别以下列四组数为一个三角形的边长：6,8， 10； 1, 1, 1 ； 8,15,17； 4,5， 6345其中一定能构成直角三角形的有。3.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7 cm2 ， 8 cm 2 ，则以斜边为边长的正方形的面积为 _ cm 2 4.已知： a,b, c 为 ABC 的三边，且满足 a 2c 2b2 c 2a4b4 ，试判断 ABC 的形状A5. 如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.5 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？ECBD.6.如 ， ABC 是直角三角形，BC 是斜 ， 将 ABP 点 A 逆 旋 后，能与ACP 重合，如果AP 3，那么 PP _ .7. 心 察 ， 真分析各式，然后解答 ：1221A41S1A32A5S4S3S2A222A6S5213S2.S12A123O134第 13 题1S32（ 1）用含有 n（ n 是正整数）的等式表示上述 化 律；（ 2）推算出 OA 10 的 ；（ 3）求出 S12 + S22 + S32 + + S102 的 。8.如 ，一艘 向正北方向航行，在点A 得灯塔M 在北偏西300， 以每小 20 海里的速度航行， 1 小 后到达 B ， 得灯塔 M 在北偏西 450 ， 到达灯塔正 方向 D ， 与灯塔 M 的距离是多少？9. ABC 中， A 300， B 450，BC 4，求 AB 的 。.10. 示是一种 “羊 ”形 案，其作法是，从正方形 1 开始，以它的一 斜 ，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角 ，分 向外作正方形2，和 2， ，依次 推，若正方形7 的 1cm， 正方形1 的 _cm.
