1、一、旋转体的体积一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积三、小结三、小结定积分的几何应用定积分的几何应用-体积体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积一、旋转体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为解解解解星形线是内摆线的一种星形线是内摆线的一种.点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径大圆半径 Ra小圆半径小圆半径参数的几何意义参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动当
2、小圆在圆内沿圆周滚动时时,小圆上的定点的轨迹为内摆线小圆上的定点的轨迹为内摆线)星形线星形线星形线星形线t或或例例2.计算摆线计算摆线的一拱与的一拱与 y0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴轴,y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积.解解解解:绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性利用对称性利用对称性 绕绕 y 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为注意上下限注意上下限!注注注注:分部积分分部积分(利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”)利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中补充补充补充补充 1.1.()柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法如果旋转体是由连续曲线如
3、果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直、直线线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯轴所围成的曲边梯形绕形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为 偶函数偶函数奇函数奇函数注：注：注：注：解解解解(一一一一)体积元素为体积元素为（二）（二）（二）（二）利用坐标平移：利用坐标平移：（）uv补充补充补充补充 2.2.()柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直、直线线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯轴所围成的曲边梯形绕形绕x=m(b)旋转一周而成的立体，体积为旋转一周而成的立体，体积为 二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面
4、积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算用定积分来计算.立体体积立体体积解解:取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积思考思考:可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积?提示提示:三、旋转体的侧面积三、旋转体的侧面积 (补充补充)设平面光滑曲线设平面光滑曲线求求积分后得旋转体的侧面积积分后得旋
5、转体的侧面积 它绕它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素取侧面积元素:注：注：注：注：侧面积元素侧面积元素若光滑曲线由参数方程若光滑曲线由参数方程给出给出,则它绕则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的轴旋转一周所得旋转体的注意注意:侧面积为侧面积为的线性主部的线性主部.不是薄片侧面积不是薄片侧面积S 旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕垂直于坐标轴的直线旋转一周绕垂直于坐标轴的直线旋转一周旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)四、小结四、小
6、结.解：解：交点交点立体体积立体体积思考与练习思考与练习.2.设设在在 x 0 时为连续的非负函数时为连续的非负函数,且且 形绕直线形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积旋转一周所成旋转体体积,证明证明:证证:利用柱壳法利用柱壳法故故3.设平面图形设平面图形 A 由由与与所确定所确定,求求图形图形 A 绕直线绕直线 x 2 旋转一周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积.提示：提示：选选 x 为积分变量为积分变量.由柱壳法旋转体的体积为由柱壳法旋转体的体积为若选若选 y 为积分变量为积分变量,则则 4.求曲线求曲线与与x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形绕直线绕直线 y3 旋转得的旋转体体积旋转得的旋转体体积.(1994 考研考研)解解:利用对称性利用对称性,故旋转体体积为故旋转体体积为在第一象限在第一象限 3ABC21
