1、山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂第四节 对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质 “大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量 M.其中,表示 n 小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中 f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为
2、f(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积函数,叫做积分曲面.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂定理定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在 上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明:由定义知山东农业大学 高等数学 主讲人
3、苏本堂而(光滑)山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂化曲面积分为二重积分 设曲面的方程为zz(x y)在xOy面上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有连续偏导数 被积函数f(x y z)在上连续 则 讨论 如果积分曲面由方程yy(z x)给出或由xx(y z)给出 那么 f(x y z)在上对面积的曲线面积分如何计算?提示 对于 yy(z x)有 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂化曲面积分为二重积分化曲面积分为二重积分要点：一代、二换、三投影一代、二换、三投影代：代：将曲面的方程代入被积函数换：换：换面积元投影：投影：将曲面投影到坐标面得投影区域注：（1）这里积分曲面
4、的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解解:山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例2.计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解解:设上的部分,则与 原式=分别表示 在平面 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例3 计算计算与平面与平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面解解在在 xoy 内的投影区域内的投影区域oxyz山
5、东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例3 计算计算与平面与平面 z=1 所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面解解oxyz山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例3.设计算解解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为则 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂思考与练习思考与练习P219 题1；3；4(1);解答提示解答提示:P219 题1.P219 题3.设则山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂P219 题4(1).在 xoy 面上的投影域为这是 的面积!山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 作业：作业：p-219习题习题11-4 4(3);5(2);6(1),(3),(4);
