1、小波变换的基本理论1小波分析基础41.1 从傅立叶变换到小波变换41.2 小波定义52连续小波变换53离散小波变换64多分辨率分析74.1多分辨率分析的定义和框架74.2 Mallat算法的分解与重构8 小波分析是当前数学中迅速发展的新领域，同时它理论深刻，应用十分广泛。小波分析在数学领域的许多学科、信号处理、计算机识别、图像处理方面已经取得了具有科学意义和应用价值的重要成果。 1小波分析基础1.1 从傅立叶变换到小波变换 自从1822年傅里叶发表“热传导解析理论”以来，傅里叶变换一直是传统信号处理的基本方法。傅里叶变换的基本思想是将信号分解成许多不同频率的正弦波的叠加，将信号从时间域转换到频
2、率域。傅里叶变换能够满足大多数应用的需求，但是由于在进行傅里叶变换的时候丢掉了时间信息，因此无法对某一时间段所对应的频域信息或者某一频率段所对应的时间信息进行分析。傅里叶变换的这种特性在分析非平稳性信号时，表现出严重的不足。然而实际中的信号均包含大量的非平稳成分，例如偏移、趋势、突变等，它们往往反映了信号的重要特征。因此需要寻求一种同时具有时间分辨率和频域分辨率的分析方法。为了研究信号在局部时间段的频域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor变换，之后发展成为短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform,STFT)。其基本思想是对信号加窗，然后对窗内信号进行
3、傅里叶变换，因此可以反映出信号的局部特性，如图1所示。STFT在实践中得到了广泛的应用，但由于STFT的定义决定了其窗函数的大小和形状与时间和频率无关，为固定窗函数的大小和形状，(一般说来，实际中高频信号持续时间很短，而低频信号持续时间较长)因此希望能够对低频信号采用大时间窗进行分析，而对于高频信号采用小时间窗进行分析。 (a) (b)图1 短时傅里叶变换示意图（a）时域加窗示意图（b）时频平面划分示意图小波变换继承了STFT的思想，它的窗口大小不变，但窗口形状可以改变，是一种时间窗和频率窗都可改变的时频分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨
4、率和较低的频率分辨率，因此在时频域都具有很强的表征信号局部特征的能力。 1.2 小波定义小波的定义为：设为一平方可积函数，即，若其傅立叶变换满足容许性条件： (1)则称为一个基本小波或小波母函数。小波函数一般具有以下特点： 小：在时域具有紧支集或近似紧支集。 震荡性：根据的可容性可知：(0)=0，因此小波必须有正负交替的波动性，同时平均值为零，即： (2)对小波进行平移、伸缩可以得到一个小波基函数集合(t)： (3)式中，0。为尺度因子，它反映一个具体的基函数的伸缩尺度，越小，则小波越窄。为平移因子，指明函数随t轴平移的位置，(t)的中心位于t=处。2连续小波变换同傅立叶变换一样，小波分析是把
5、一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后得到一系列小波。对于任意的函数(R)的连续小波变换(Continue Wavelet Transform,CWT)为：= (4)其逆变换为： (5)小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的：时间窗函数的宽度与变换域中频率窗函数的宽度都是的函数，其乘积是一个常数。因此在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。如图2所示，当检测高频信息时，时间窗会自动变窄；而当检测低频信息时时间窗会自动变宽。小波的这种特性也称为“变焦”特性，它是小波变换能
6、提供多分辨率分析的基础。图2 小波的频率时间窗3离散小波变换 连续小波变换的系数有很大的冗余量。在连续变化的尺度a和时间b下，小波基函(t)数代具有很大的相关性，因而信号的小波变换系数的信息量是冗余的。一般地，人们希望不丢失原始信号的前提下尽量减小小波变换系数的冗余度，因此，引入了离散小波变换。 小波变换离散化的方法是将尺度按幕级数进行离散化，而时间在同尺度上进行均匀离散，不同尺度其离散间隔也成幂级数关系。对于计算机中的图像信息最基本的离散化方法就是二进制离散，一般将这种经过离散化的小波及其变换叫做二进小波和二进变换。具体是将尺度设置为为2的幂级数(其中，m为整数)，m=0时，b的时间间隔为T
7、s，为简化，往往把时间轴用Ts归一化，即b=1。则，(t)可表示为： (6)此时二进小波变换，可以表示为： = (7)其逆变换为： (8)4多分辨率分析 小波变换中，当尺度a较大时视野宽而分析频率低，可以作概貌的观察；当尺度a较小时视野窄而分析频率高，可以作细节的观察。但不同a值下分析的品质因数(指中心频率与带宽之比)却保持不变。这种由粗及精对事物的逐级分析称为多分辨率分析，它是小波变换联系工程应用的重要方面。多分辨率分析是Mallat提出的，可用于正交小波的分解和重建，也称金字塔算法，或Mallat算法。 多分辨率分析可以从两个角度引入，函数空间的剖分和理想滤波器组，前者是首先提出的，数学上
8、比较严谨，结论也比较全面。但是对于具有信号处理知识的工程技术人员，理想滤波器组是更容易接受的入手点，只是结论不够全面。从函数空间的剖分可以引出频率空间的剖分，由于各带通空间的品质因数不变，可以将频率空间剖分成频率子空间，这些频率子空间的之和就是整个频率空间，随着频率空间的一级一级的剖分，可以对事物进行由粗及精的多分辨率分析。4.1多分辨率分析的定义和框架 空间中一列闭子空间称为的一个多分辨分析（MRA），如果该序列满足下列条件： 单调性：对任何整数， (9) 唯一性：这些子空间中“最小的”是零空间，即 (10)这说明具有任意频率截断的信号只能是零信号； 稠密性：这些子空间能很好地“逼近”空间
9、11) 伸缩性：相邻子空间按时间伸缩重合 (12) 伸缩性体现了尺度的变换、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。 平移不变性：对任意n Z，有 (13) 可构造性： 构成子空间的标准正交基。为了寻找一组空间的正交基，定义尺度空间的补空间如下：设为在中的补空间，称为小波空间，如图3所示： 图3 小波空间示意图由多分辨率分析的定义，有：. (14)对于任意函数，可以将它分解为细节部分和大尺度逼近部分，然后将大尺度逼近部分进一步分解，如此重复就可得到任意尺度上的逼近部分和细节部分，这就是多分辨率分析的框架。 4.2 Mallat算法的分解与重构执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。该方
10、法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法。这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码。用滤波器执行离散小波变换的概念如图4所示。图4 双通道滤波过程图中，S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号，A表示信号的近似值(approximations)，D表示信号的细节值(detail)。在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表
11、示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。 由此可见，离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形成如图5所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树(wavelet decomposition tree)。分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要。小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。图5 小波分解树离散小波变换可以用来分析或者叫做分解信号，这个过程叫做分解或者叫做分析。把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构(wavelet reconstruction)或者叫做合成(synthesis)，数学上叫做逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform，IDWT)。在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程，在小波重构时要包含升采样(upsampling)和滤波过程。小波重构的方法如图6所示，图中的符号表示升采样。图6 小波重构方法升采样是在两个样本数据之间插入“0”，目的是把信号的分量加长。升采样的过程如图7所示。图7 升采样的方法
