1、常系数非齐次线性微分方程 第八节第八节一、一、二、二、第七章 1苍松优选二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.2苍松优选设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程一、型3苍松优选综上讨论综上讨论注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.4苍松优选特别地特别地5苍松优选例1.求方程的一个特解解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求
2、特解为6苍松优选解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为例例7苍松优选例例8苍松优选例.求解定解问题求解定解问题解解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得9苍松优选于是所求解为解得10苍松优选利用欧拉公式利用欧拉公式11苍松优选注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.12苍松优选解解对应齐次方程特征方程对应齐次方程特征方程代入方程得代入方程得13苍松优选解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解代入上式代入上式所求非齐
3、方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为例例5 514苍松优选例例6 615苍松优选解解对应齐方通解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为原方程通解为例例7 716苍松优选例8.解解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:17苍松优选三、小结三、小结(待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解,取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部,得原非齐方程特解得原非齐方程特解.18苍松优选思考题思考题写出微分方
4、程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.19苍松优选思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）（重根）20苍松优选思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1.(填空)设21苍松优选2.求微分方程求微分方程的通解 (其中为实数).解解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为22苍松优选3.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为23苍松优选练练 习习 题题24苍松优选25苍松优选练习题答案练习题答案26苍松优选27苍松优选
