中南大学线性代数试卷.doc

中南大学线性代数试卷考试试卷闭卷考试时间:100分钟一、填空题(本题15分,每小题3分)1、设为四阶方阵，其中为的第个列向量，令，则 。2、设为三阶方阵,为的伴随矩阵,且，则 。3、设，且,则 。 4、若阶方阵有特征值,则必有特征值 。 、若二次型经正交变换化为，则 。二、选择题（本题5分，每题3分)1、设是阶方阵,则的必要条件是（ )。（A)中两行(列）元素对应成比例; （B)中有一行元素全为零; (C）任一行元素为其余行的线性组合； ()必有一行元素为其余行的线性组合。2、设是阶对称阵,是阶反对称阵,则下列矩阵中反对称矩阵是（)(A）; （)； (）; （）。、设向量组当( )时,向量组线性相关。（）5(B)（C）3（)4、设为矩阵,是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量,为任意常数，则非齐次线性方程组的通解为（ )。(）； （B） ; (C）； （D）。5、设方阵是正定矩阵,则必有（ )。 (); (B)； (C）； （D）。三、(本题8分） 计算行列式 ,其中。四、（本题12分) 设，且,求矩阵及, 其中为的伴随矩阵，为单位矩阵。五、（本题14分） 设向量组不能由向量组线性表示。 （1）求向量组的一个极大无关组;（2)求的值; （3）将向量用线性表示。六、（本题14分） 设齐次线性方程组（)为，已知齐次线性方程组（）的通解为。（1)求方程组（）的基础解系;（2)问方程组（)和(）是否有非零公共解?若有,则求出所有非零公共解,若没有,则说明理由。七、(本题1分） 设矩阵,(1）已知的一个特征值为 求;(）求方阵,使为对角阵。八、（本题8分) 试证明:阶矩阵的最大特征值为,其中。参考答案一、填空题(本题1分，每题分） 、0; 2、； 3、4; 4、; 5、1。二、选择题(本题15分，每题3分) 1、D; 2、； 3、A； 4、C; 5、.三、（本题8分） 解：从第一行开始,每行乘后逐次往下一行加,再按最后一行展开得:原式=。四、（本题2分)解:由，得:，可逆,故;由于,。五、（本题4分） 解:(1） 令,则线性无关, 故是向量组的一个极大无关组；(2）由于4个3维向量 线性相关，若线性无关，则可由线性表示,与题设矛盾;于是线性相关，从而。(3）令，。六、（本题1分）解:(1） ，所以方程组()的基础解系为:；(2)设，即，故上述方程组的解为，于是方程组(）和（)所有非零公共解为：。七、（本题14分）解:（)，将代人上式，得;(2）由(1）得，显然为实对称阵,而令，显然也是实对称阵，是单位阵,由，得的特征值，属于对应的特征向量为,单位化:,属于对应的特征向量为， 单位化：，取，则有。八、(本题分）证明：由 得的特征值，故的最大特征值是。考试试卷2闭卷考试时间：100分钟一、填空题（本题1分,每小题3分)1、若n阶行列式零元素的个数超过n(n-)个,则行列式为 。2、若A为4阶矩阵，且=，则= 。、设A=,且()=,则k= 。 4、已知向量，=（,3），=(，）,设=,则A= 。 、设A为n阶方阵,为A的伴随矩阵,E为n阶单位阵,若A有特征值必有特征值 。二、选择题（本题1分，每题分）1、设,B，C为n阶方阵,E为n阶单位阵,且AC=E，则下列各式中（ ）不成立。 (A) CB (B) () CA=E (D）2、设，均为n阶非零矩阵，且B=O,则它们的秩满足( ）。 （A）必有一个等于零 (B)都小于n() 一个小于n，一个等于 (D)都等于n3、下列命题中正确的是（ )(）在线性相关的向量组中,去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关(B）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关(C)任何+个维向量(k）必然线性相关()若只有全为零时,等式才成立，且线性无关，则线性无关4、设，则=（ )时,有为的基 （A) （B） (C） (D）5、设二次型的矩阵为，且此二次型的正惯性指数为3，则（ ）（A）k>8 ( B） k>7 (C) >6 (） k>5三、(10分)计算n阶行列式，并求该行列式展开后的正项总数。四、（0分) 设=,且,求矩阵,其中的伴随矩阵，为单位矩阵。五、（本题14分）设有向量组 ，,(1）求该向量组的秩；(2)求该向量组的一个最大无关组,并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。六、(本题14分)设向量，()求3阶方阵的特征值与特征向量;（2)求一正交矩阵为对角矩阵。七、(本题14分）设矩阵，(1）问；（2)当是正交矩阵时，求方程组的解。八、(本题分)证明：线性无关的充要条件是 其中。参考答案一、 填空:(每小题3分，共计5分)1、0 ; 2、; 3、 -3;4、 ； 5、。二、选择：（每小题3分，共计1分）1、D 2、B 3、C 、D 5、A三、(本题0分)(练习册P117)解： ， 设展开式中正、负项总数分别为则,于是正项总数为。四、（本题1分)解:由，得：, 可逆,故 ; 由于 。五、(本题14分）解:将矩阵化为最简形阶梯形矩阵 , （1)； （)为所求的一个最大线性无关组，且。六、(本题14分)解： ，（1） A的特征值为0，0,3； 由A得对应的的特征向量为k,k,为不全为零的任意常数，由得对应3的特征向量为c,c为任意非零常数。（2） 将正交化,得,再单位化，得，将单位化得，为所求正交阵。使 七、（本题14分)解:（）若A是正交矩阵，则A的列向量两两正交，故有解得时A是正交矩阵。 （2) 八、（本题分) 证：记矩阵 由于,从而得线性无关。考试试卷3闭卷考试时间:100分钟一、填空题（本题15分,每小题分）、设,矩阵，则 。、设为阶矩阵，如果有阶可逆矩阵,使 成立,则称与相似。3、元非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 。4、已知二次型，则二次型对应的矩阵。、设4阶方阵满足:,（其中是单位矩阵),则的伴随矩阵必有一个特征值为 。二、选择题(本题15分，每题3分）1、已知4阶方阵的伴随矩阵为，且的行列式,则( ）。 (A)81 (B) 27 (C) 12 (D) 9 、设、都是阶方阵,且与有相同的特征值,并且、都有个线性无关的特征向量，则（ ）。 （A) 与相似 (B） （C) ，但 (D)与不一定相似,但3、设阶方阵为正定矩阵，下面结论不正确的是( )(A）可逆 (B）也是正定矩阵(C) （D)的所有元素全为正、若阶实方阵，为阶单位矩阵，则（ ）。（A） （） (C） （D）无法比较与的大小、设，,其中为任意常数,则下列向量组线性相关的为( ）。（A） ( B) (C) （D) 三、(10分）计算阶行列式,的主对角线上的元素都为,其余位置元素都为，且。四、（0分) 设3阶矩阵、满足关系:,且，求矩阵。五、（10分）设方阵满足（其中是单位矩阵），求。六、(2分)已知向量组： ,，,(1)求向量组的秩;(2)求向量组的一个最大线性无关组,并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表出。七、(14分)设矩阵与矩阵相似,(1）求；（2）求正交矩阵，使。八、（4分） 设有线性方程组为（）证明：若两两不等,则此方程组无解;（2）设，且已知是该方程组的两个解,其中,写出此方程组的通解。参考答案二、 填空：(每小题3分，共计1分)1、； 、; 3、;4、 ; 、。二、选择：（每小题3分，共计15分）1、 2、A 3、D 4、C 5、C三、（本题10分)（见教材44习题第5题）解：后面列都加到第1列,得四、(本题10分)解：。五、（本题1分)(见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例）解: ,或。六、（本题1分)(见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例)解:将矩阵化为最简形阶梯形矩阵 ， (1)； （2）为所求的一个最大线性无关组，且，。七、（本题1分）(见典型题解P例14)八、（本题4分）(见教材87例3.3）解:（1)增广矩阵的行列式是4阶范德蒙行列式: 由于两两不等,知,从而,但系数矩阵的秩,故，因此方程组无解。(2)时，方程组变为 即 因为，故,所以方程组有解,且对应齐次方程组的基础解系含-=1个解向量，又是原非齐次方程组的两个解,故是对应齐次方程组的解；由于,故是它的基础解系。于是原非齐次线性方程组的通解为 为任意常数。14 / 14