1、二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第一章第一章函数与极限函数与极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 边形的面积边形的面积2 2、截丈问题、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义二、数列的定义例如例如注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可
2、看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整数下标函数数列是整数下标函数三、数列的极限三、数列的极限01220010数列数列(1)(2)(3)(1)(2)(3)有一个共性？有一个共性？1当当n n无限增大无限增大时时,与常数与常数a a无限接近无限接近,尽尽管接近的方式管接近的方式不同。不同。数列极限的描述性定义：数列极限的描述性定义：或或我们研究数列就是研究它在自变量我们研究数列就是研究它在自变量 的动态变的动态变化过程中，化过程中，能否渐趋稳定，或是说，能否无限的能否渐趋稳定，或是说，能否无限的接近某一定数接近某一定数？如果能，？如果能，就叫就叫 的极限。的极限。给定数列给定数列
3、 ，当，当 无限增大时，无限增大时，无限的接近无限的接近 ，则称，则称 为为 趋于无穷时数列的极限。记做：趋于无穷时数列的极限。记做：问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.给出数列极限的精确的定义呢给出数列极限的精确的定义呢？能否给出数列（能否给出数列（3 3）收敛的描述性的定义？）收敛的描述性的定义？记作记作或或此时称该数列（此时称该数列（3）的极限为的极限为1,1,讨论数列（讨论数列（3 3）如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：几何解释几何解释:其中其中 ，在平面上在平面上数列极限的定义未给
4、出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.例例3证证例例4证证四、数列极限的性质四、数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.2.唯一性唯一性定理定理2
5、 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.例例5证证由定义由定义,区间区间长度为长度为1.1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1 1的区间内的区间内.反证法反证法证证:对对 ,取取推论推论:若若数列从某项起数列从某项起(用反证法证明用反证法证明)定理定理3 3:收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若若且且时时,有有3.保号性保号性定理定理4:4:如果数列收敛于如果数列收敛于a,a,则其任一子列也一定则其任一子列也一定收敛收敛于于a.数列数列的的任一子数列任一子数列*4.子列的极限子列的极限*证证:设数列设数列 是数
6、列是数列的的任一子数列任一子数列 .若若则则当当 时时,有有现取现取正整数正整数 K K,使使于是当于是当时时,有有从而有从而有由此证明由此证明 *例例6 6证明数列证明数列 不收敛不收敛 证证:数列数列定理说明：定理说明：如果一数列有两个子列收敛于不同的如果一数列有两个子列收敛于不同的数数,则此数列一定发散则此数列一定发散.如数如数列列小结小结重点重点:数列极限的定义，数列极限的定义，收敛数列的性质收敛数列的性质难点难点:数列极限定义的理解，数列极限定义的理解，证明数列的极限证明数列的极限.主要内容：主要内容：数列及数列极限的定义数列及数列极限的定义,几何意义几何意义,收收敛数列的性质敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性、子数有界性、唯一性、保号性、子数列极限列极限思考题思考题1.如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.方法方法3.
