1、指数函数例题解析第一课时【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：解 (1)定义域为x|xR且x2值域y|y0且y1(2)由2x+210，得定义域x|x2，值域为|y|y0(3)由33x-10，得定义域是x|x2，033x13，1.指数函数Y=ax （a0且a1）的定义域是R，值域是（0，+）2. 求定义域的几个原则：含根式（被开方数不为负）含分式，分母不为形如a0,(a 0)3. 求函数的值域:利用函数Y=ax单调性函数的有界性(x20;ax0)换元法.如:y=4x+62x-8(1x2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的围)【例2】（基础题）指数函数yax，ybx，ycx，y
2、dx的图像如图262所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 Aab1cd Bab1dcC ba1dc Dcd1ab 解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得ba1dc【例3】（基础题）比较大小：(3)4.54.1_3.73.6解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.14.53.6，作函数y14.5x，y23.7x的图像如图263，取x3.6，得4.53.63.73.6 4.54.13.73.6说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥
3、梁，如例2中的(2)其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)例题4（中档题）9 【例5】（中档题）作出下列函数的图像：图像变换法(3)y2|x-1| (4)y|13x|解 (2)y2x2的图像(如图265)是把函数y2x的图像向下平移2个单位得到的 解 (3)利用翻折变换，先作y2|x|的图像，再把y2|x|的图像向右平移1个单位，就得y2|x-1|的图像(如图266)解 (4)作函数y3x的图像关于x轴的对称图像得y3x的图像，再把y3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把
4、x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到(如图267)例6（中档题） ： 用函数单调性定义证明：当a1时，y = ax是增函数.【解析】设x1，x2R且x1x2，并令x2 = x1 + h (h0，hR)，很独特的方式则有，a1，h0，即故y = ax (a1)为R上的增函数，同理可证0a1时，y = ax是R上的减函数.指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析）二次函数为内层函数，指数函数为外层函数例题7中档题）变式1 求函数y=（）的单调区间，并证明之.解法一（在解答题）：在R上任取x1、x2，且x1x2，则=（）（x2x1）（x2+x12） 【（）为底数，红色部分为指数】 ，
5、x1x2，x2x10.当x1、x2（，1时，x1+x220.这时（x2x1）（x2+x12）0，则1.y2y1，函数在（，1上单调递增.当x1、x21，+）时，x1+x220，这时（x2x1）（x2+x12）0，即1.（此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性） y2y1，函数在1，+上单调递减. 综上，函数y在（，1上单调递增，在1，+）上单调递减.合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题. 解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）：设： 则：对任意的，有，又是减函数 在是减函数对任意的，有又是减函数 在
6、是增函数在该问题中先确定层函数（）和外层函数（）的单调情况，再根据外层函数的单调性确定复合函数的单调性.变式2 已知且，讨论的单调性. 【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，指数，当时是减函数，时是增函数，而的单调性又与和两种围有关，应分类讨论.【解析】设，则当时，是减函数， 当时，是增函数，又当时，是增函数，当时，是减函数，所以当时，原函数在上是减函数，在上是增函数.当时，原函数在上是增函数，在上是减函数.【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域. 第二课时例题8：（
7、疑难题）指数函数与二次函数的复合函数 换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的围)当x0时，函数y有最大值为1层指数函数u=(1/2)x为减，当u在（0，1/2】时，此时外层二次f（u)为减函数，即x在【1，正无穷大），则复合函数为增（画草图分析法） 点评：（1）指数函数的有界性（值域）：x20; ax0 （2）上述证明过程中，在两次求x的围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。变式： 求（3）的值域.解 y且.故的值域为.【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.例题9 （中档题）分式型指数函数 (1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域； (3)证明f(x)在区间(，)上是增函数解 (1)定义域是R函数f(x)为奇函数反函数法，用指数函数值域 即f(x)的值域为(1，1)(3)设任意取两个值x1、x2(，)且x1x2 f(x1)f(x2)变式1 设a是实数， 试证明对于任意a,为增函数；证明：设R,且 则 由于指数函数y=在R上是增函数,且,所以 即0得 +10, +10所以0即因为此结论与a取值无关，所以对于 a取任意实数，为增函数例题10（中档题）抽象函数例题10变式1（疑难题） 第三课时复合函数作业课本：课本P 习题.
