线性代数二次型与二次曲面.pptx

第六章 二次型与二次曲面,曲面和曲线的一般方程,F(x, y, z) = 0,曲面的一般方程:,曲线的一般方程:,曲线的参数方程:,G(x, y, z),C,S2,(xx0)2 + (yy0)2 + (zz0)2 = r2,球面及其方程,柱面及其方程,旋转曲面方程,投影曲线方程,在xOy面的投影曲线,椭球面,截痕法,x = 0,y = 0,z = 0,二次锥面,z = h,当h 0 时，该交线是椭圆；,当h = 0 时，该交线是原点。,所以，二次锥面也叫椭圆锥面。,x = 0,y = 0,z = 0,单叶双曲面,椭圆,z = h,x = 0,y = 0,z =|c|,双叶双曲面,z = h,椭圆,|h| c 时, |h|越大,椭圆越大,|h| = c时,椭圆退缩成点.,x = 0,y = 0,z = 0,椭圆抛物面,z = h,h 越大,椭圆曲线也越大,h = 0时,椭圆退缩成点.,椭圆,(a0, b0),x = 0,x = h,双曲抛物面,表示过原点，开口朝 z 轴负方向的抛物线。,开口朝 z 轴负方向的抛物线。,(a0, b0),y = 0,y = h,双曲抛物面,表示过原点，开口朝 z 轴正方向的抛物线。,开口朝 z 轴正方向的抛物线。,(a0, b0),(马鞍面),z = h,双曲抛物面,当h 0 时，是实轴是 x 轴的双曲线,当h < 0 时，是实轴是 y 轴的双曲线。,当h = 0 时，是过原点的两条直线,椭球面,(a0, b0, c0),二次锥面,单叶双曲面,双叶双曲面,截痕法,椭圆抛物面,(马鞍面),双曲抛物面,若已知二次曲面的标准方程，则容易画出它的图形。 椭球面 二次锥面 单叶双曲面和双叶双曲面 椭圆抛物面和双面抛物面 若二次曲面的方程不是标准方程，要通过正交变换和平移变换把一般二次方程化为标准方程，从而知道其图形。,二次曲面的判别方法,一般三元二次方程的化简,x y z,(x,y,z),+ (b1,b2,b3),x y z,+ c = 0,XTAX,+ + c = 0,BTX,一般三元二次方程的化简,A是实对称矩阵 正交矩阵P，, 正交替换X=PY, Y=(x1,y1,z1),XTAX,=YT(PTAP)Y,=YTdiag(1, 2, 3)Y,二次型,标准形,则方程(1)变成,再令BTX= (d1,d2,d3),1x12 + 2y12 + 3z12 + d1x1 + d2y1 + d3z1 + c = 0,将此方程配平方，再做平移变换，得二次方程标准形。,例4.1 将二次曲面化为标准方程，指出曲面类型：,f(x, y, z) = 2x2 + y2 + z2 + 2xy + kyz = 1,例. 求k的值使下面的方程表示一个椭球面.,上述方程表示一个椭球面A正定,而P1 = 2 0,P3 = |A| = 1k2/2.,个椭球面.,作业22,P164: 21,本教材必做习题,P26:12(4),P26:12(4),P26:12(4),P60：9,P60：9,P61：21,P111：5,P111：5,P111：9,P111：9,P111：11,P111：12,P138：15,P138：15,考试和答疑安排,考试时间 19周星期三(1月8日)，9:00-11:00AM 考场安排 3302021班(前40名同学) 3302032班(49)，1班(第41-51号同学) 3302043班(58)，其他非本专业同学(17) 答疑安排 19周星期二(1月7日)，3:00-5:00PM 31号楼3楼教师休息室,