伸缩因子为M的全正加细函数_杨守志.docx

2007 年 11 月汕头大学学报 ( 自然科学版)第 22 卷第 4 期Nov. 2007J our nal of Shantou Univer sity ( Natur al Science )Vol.22No.4文章编号:1001 - 4217( 2007) 04 - 0046 - 07伸缩因子为 M 的全正加细函数杨守志,朱天翔( 汕头大学数学系, 广东 汕头 515063)摘 要 : 讨论伸缩因子为 M, M 2 的全正加细函数的构造问题. 研究它的精度、光滑性和对称性等性质, 给出一类全正、对称、光滑的加细函数的显示构造方法, 证明该类加细函数有很多性质与 B- 样条加细函数类似, 可以通过卷积的方式增加加细函数的光滑性.关键词:加细函数;伸缩因子;全正性;加细函数方程中图分类号:O 174.2文献标识码:A0引言多分辨分析在很多方面都有很重要的应用,如逼近理论、数字信号处理等.近年来, 有大量文章和专著从不同的方面阐述了对多分辨分析和小波的应用. 多分辨分析和小波一般是用两尺度加细函数来构造的. 伸缩因子 M = 2 的两尺度加细方程及两尺度函数的性质已有很多人研究, 并且已经有了很好的结论. 例如, Gori等1给出了全正对称紧支撑加细函数的显示解, 并研究了它的光滑性和紧支撑性. Pitolli2研究了全正紧支撑对称且具有插值性的加细函数. Gori 和 Pitolli 所研究的加细函数的面具都是 Hurwitz 多项式, 且产生的尺度函数为小涟漪. 讨论伸缩因子为 M 的情形, 一方面是由于 M- 通道滤波器理论的需要3- 5, 另一方面是为了得到比伸缩因子 M = 2 更灵活的时频分析工具. Goodman 等6讨论了伸缩因子 M 2 时, 尺度函数为小涟漪其面具需满足的条件. 针对上述情形, 本文主要研究 M > 2 时, 全正加细函数的构造问题, 并讨论它们的性质.1基本概念称满足下列条件的子空间序列Vj是一个多分辨分析( MRA) :1) Vj"Vj+1,#jZ;2) ClosL2 &% Vj = L2( R) ;jZ收稿日期:2007 - 06 - 04作者简介:杨守志( 1963 ) ,男,河南罗山人,教授,博士生导师.E- mail: szyangstu.edu.cn基金项目:广东省自然科学基金资助项目( No: 05008289, 032038) ; 广东省自然科学博士基金资助项目(No: 04300917)第 4 期杨守志等:伸缩因子为 M 的全正加细函数473) "( Vj) = 0;jZ4) f() Vj # f( M) Vj+1;5) 存在函数 (x) ,使得(- k) , kZ构成 V0 的 Riesz 基.可以通过如下加细方程来构造多分辨分析:(x) = $Pk (Mx - k) ,M 2, MZ, xR( 1)kZ其中系数Pk称为面具.定义加细函数的符号为:1- i kP( ) =$Pke .M kZ"= P( )"对式( 1) 两边做傅立叶变换得: (M)() .根据上式,Pk必需满足$Pk = M.kZ如果x1 x2 xp=det(x - i) 0,&i1 i2 i pl, j=1, 2, ,plj其中 x1 < x2 < < xp,i1 < i2 < < ip,xlR, ilZ ,则称尺度函数 为小涟漪,其支撑区间为0, n/( M- 1) .当 il < xl < il + n, l = 1, 2,p 时,则不等式严格成立.加细方程解的存在性和加细函数的性质可由符号来确定.由文献 6 可知,如果:1) Pk > 0, 当 k = 0, 1, 2, n, n > M; Pk = 0,当 k < 0 或 k > n;2) P( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i+ 1) /M) Q( ) ;3) Q( 0) = 1 且多项式 Q( ) 的系数非负.那么 (x) = $Pk (Mx - k) 有解,且解为小涟漪.kZ定义 12"0) 如果尺度函数 (x) 满足: 1) 是紧支撑的; 2) L( R) ; 3) (0; 4) (x - k) kZ 线性无关.那么, 称尺度函数 (x) 满足基本的正则条件.定义 2如果对所有次数不大于 p - 1 的多项式都能被尺度函数 (x) 的平移表示,即存在ck,使得下式成立:xn = $ck (x - k) ,n = 0, 1, 2, , p - 1.k则称尺度函数 (x) 的精度为 p.引理 1设尺度函数 ( x) 满足基本的正则条件,则加细函数 ( x) 的精度 p 等价于 :"n "2k) = 0,kZ, k 0, n = 0, 1, , p - 1.(0) 0, D (令集合 S = PkPk > 0, k = 0, 1, 2,n; Pk = 0, k > n 或 k < 0; $Pk = M.kZ48汕头大学学报( 自然科学版)第 22 卷在本文中所研究的加细方程( 1) 的面具PkkZ 都是属于集合 S 的.定义 3 设加细函数 的符号 P( ) 为:P( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i+ 1) /M) Nq( )( 2)其中 q( ) 是三角多项式,且 e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i+ 1 不能整除 q( ) ,则称加细函数 (x) 的精度为 N.根据引理 1, 一个尺度函数的度为 N, 则其精度为 N. 在实际运用中, 需要构造出高精度的尺度函数和小波, 因为精度越高, 小波的光滑性就越好, 在信号处理中误差就越小, 处理效果就越好.当PkkZS 时, 满足式( 1) 的加细函数可以拥有很多良好的性质, 如全正性、紧支撑性6. 事实上, 它还可以拥有很多更好的性质, 如对称性、高精度性等. 这些性质在应用上是非常重要的, 尤其是在图象压缩及传输中. 这里将研究的尺度函数的面具不仅具有全正性、紧支撑性, 还具有对称性, 即要求 Pn- j = Pj, j = 0, 1, , n/2.伸缩因子为 M 全正、紧支撑且对称的一个简单例子是 B- 样条函数,其符号为:P( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i + 1) /M) m( 3)为了应用的需要,自然希望构造出大量具有全正、紧支撑和对称性等良好性质的非 B -样条函数.2 全正、紧支撑和对称的加细函数定理 1设两尺度加细方程( 1) 的符号为:P( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i + 1) /M) Nq( ) ,N > 1( 4)其中:q( ) = b + b e- i + b e- i2+ + b e- ij, jZ;q( 0) = 1,b, b ,b , , b > 0 ( 5)012j012j则对应于 P( ) 的两尺度加细方程 (x) 的解存在,且 CN- 1.证明对式( 1) 两边做傅立叶变换得:""() = P( /M) (/M) .重复以上过程得:" = "P /Mk " 0" 0 0.()( ) ( ) ,( ) k = 1式( 4) 定义的 P( ) 可简化为:P( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i + 1) /M) Nq( ) = ( ( 1 - e- iM) /M( 1 - e- i ) ) Nq( e- iM) .令 :j11B = B( q ) = supt, b= b(q) =log B =ln B ."q( /M)jln MjkjjjM jjRt = 1又因为q( )=b0 + b1e- i + b2 e- i 2+ + bj e- i j b0 + b1 + b2 + + bj = 1,所以上式定义得bj 0( 当 = 0 时, bj= 0) .则:- iM/ Mk"P()="&1 - e - i/ Mk)kk = 1Mk = 1M( 1 - eN"q().kk = 1M第 4 期杨守志等:伸缩因子为 M 的全正加细函数49由于 - iM/ Mk !"1 - e - i/ Mkk = 1 M( 1 - e)1 - e- i=limL- i/ MLL M ( 1 - e)#N =N=lim %1 - e- ii/M 1 - e- i/ M 21 - e- i/ ML- 1 L&NLM( 1 - e)M( 1 - e- i/ M )M( 1 - e- i/ M )1 - e- i N1 - e- i N1 - cos+ isinNLlim1 - e- i/Mi=ii i/MLLsin+ icosN N- N2sini sin2 / 2=2 %22 &/= C(1 +)( C为某一固定常数) ,由 q( 0)= 1,存在0 < 1,k k有1 - q( /M )= O/M ,k .k因为)( /M ) < ( M > 2) ,kMkk1 - %Mkk&+!*)ln#+ *")/Mq()= exp1 - q()= exp O j,k = 1j = 1j = 1所以! q( ) 收敛.k = 1Mk任意固定的 , 存在相应的 nZ,使得:Mn- 1 < 1 + Mn ( 当 = 0 时 ,n =0) ,对所有 k n,有/Mk 1.故! q( ) C"( C"为某一固定常数) ,其k = 1Mk中与C"无关.令$0) .故:C! = CC(n$- Nk() C!( 1 +)!q(/M ).k = 1对任意固定的正整数 n0 和所有 n > 0,有:nn0n02n0!q( /Mk)=!q( /Mk) q( /Mk)q( /Mk)k = 1k = 1k=n0+1k = n/n0n0 + 1 CB n/n0 CBn/n0.n0 n0n0由于 n - 1 < logM( 1 +) n,即 n < 1 + logM( 1 +) ,故:n/n C!n0log (1+)1/n0= C!n01+bb n0B0Bn0M() n0,< 0,其中 C,C为某一固定常数.n0C n0!n0记$所以,Cn0 C , (0) ,= maxC!C n0 !n0$ C 1 +() n0( )由文献 7 可知:x =1/+ei$( )()2- ei(x+h) - eix min( 2,- N+bn0L2( R) L1( R) ,R,1+ i$( )/- ( i)d , ( x)=e () d ,2h) 21 -h 2h( 1 +) ,50汕头大学学报( 自然科学版)第 22 卷对任意 0 < 1,1+i x!( )( )i (x+h) ( x + h) - ( x) #- e- e()d 2+h#- (+ - N+b Cn01 +)n0 d .当 = N - 1时, 取 < - b, 则 + - N + b< - 1,积分是有限的,即 (x) CN- 1.n0n0定理 2设 N > 1 且 NZ,j 为偶数,并设两尺度加细方程( 1) 的符号为:P( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i + 1) /M) Nq() .j其中:qj() = b (1 + e- i j) + b ( e- i + e- i( j- 1)+ b( e- i2+ e- i( j- 2) + +012%e- i(jj&+ bjb2- 1) + e- i(2+1) e- i.2j- 1j22且 qj( ) 的系数满足bj= 1 - 2( b0 + b1 + + bj) > 0,b0, b1, , bj> 0( 6)- 1- 1222则两尺度加细方程的解是紧支撑、对称的,且具有精度为 N 的小涟漪.证明令 Q( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i + 1) /M) N- 1qj( ) ,即:P( ) = ( ( e- i(M- 1)+ e- i(M- 2)+ + e- i+ 1) /M) Q( ) .其中,Q( 0) = 1,且多项式 Q( ) 的系数非负,由文献 6 易证.若 j 为奇数, 则令 qj( ) = 1 + e- i qj- 1( ) , qj- 1( ) 的形式同式( 6) . 很明显, 此时2尺度函数 的面具满足式( 4) 、( 5) ,即 CN- 1.定义集合 N, j 为面具属于 S 且符号满足式( 4) 、( 5) 的加细函数的全体. 对任意的 N, j, 那么 CN- 1, 其支撑区间为 0, N + M-j 1 (. 令 = N, j, 特别地, 取 M= 3, j = 2,并定义e- i 2 + e- i + 1N 1 e- i 2 +3h - 2 e- i +1P( ) =%3&%3h&3( 7)3h3h,h > log 2可以验证上面定义的 P( ) 满足定理 1 和定理 2.更具体地,如果令 h = 2,N = 2, 则e- i 2 + e- i + 121e- i 2 +7e- i +11%399&P() =.根据定理 1和定理 2,P () 生成的尺度函数 收缩因子为 3111( x) 具有连续性和对称性,见图 1.全正对称精度为 2类似地,如果取 h = 2, N = 4, 则符号0.5e- i 2 + e- i + 1402() =%3&P%91e- i 2 +7e- i +1&- 0.59900.511.522.5生成的尺度函数 ( x) 具有三阶连续性和对称图 1尺度函数 21第 4 期杨守志等:伸缩因子为 M 的全正加细函数51性,见图 2.可以明显看出, 当 h = 1 时, 式( 7) 所定义的符号恰好是 N + 1 阶 B - 样条函数对应的符号. 因此式 ( 4) 所对应的尺度函数可以看作是 B - 样条函数的推广.3 上加细函数的性质在文献 7 中, B- 样条函数具有一个重要的性质递推构造性, 即有:Ml +1 = Ml * M1 .由 文献8 可知 , 两个符号为 Hurwitz 多项式的加细函数的卷积仍然是一个符号为 Hurwitz 多项式的加细函数. 在文献 1 中, 伸缩因子 M = 2, 两个紧支撑全正的加细函数的卷积仍然是全正的加细函数, 并且所得到的加细函数的支撑区间虽然增大, 但是光滑性却得到了很大的提高, 并且不破坏对称性. 下面将这一结果推广到伸缩因子为 M 的情况.定理 3如果 和 ,那么卷积N1, j1N1,j1N2, j2N2, j2 +N2, j1+ j2".N1, j1N2, j2N1证明用P( ) 来表示尺度函数 的符号, 那么相对于 的符号为:N, jN, jN1, j1N2, j2PM, k( ) = PN1, j1 ( )PN2, j2( ) = ( ( e- i(M-1) + e- i(M- 2)+ + e- i+ 1) /M) N1 +N2 qj1( )qj2( ).显然 PM, k是紧支撑全正面具的符号. 故 PM, k生成的 的支撑区间为0, N + N + ( j+M, k121j ) /( M - 1) ,且 CN1 + N2 - 2 .由于 PN1, j1( ) ,PN2, j2( ) 是对称的,因此 也具有对2M, kM, k称性.对任意的 , ,可以应用定理 3 卷积的方式得到更光滑的全正加细函数,1而且还能保持对称性.如设 为伸缩因子 M = 4,符号为( ( e- i 3 + e- i 2 + e- i + 1) /4) 23( ( e- i+ 1) /2) 生成的对应的尺度函数如图 3.设 为伸缩因子 M = 4,符号为( ( e- i 3 + e- i 2 + e- i + 1) /4) 2( ( e- i 2 + 4e- i + 1) /6) 的4尺度函数如图 4. 为 和 通过卷积所得的尺度函数 ,534其符号为:( ( e- i 3 + e- i 2 + e- i + 1) /4) 4( ( e- i + 1) / 2) ( ( e- i 2 + 4e- i + 1) /6) .图 5为 的图形.明显地, 比 和 都光5534滑 , 且保持原有的对称性.定 理 4 任意 的尺度函数不可能是正交的.证明若尺度函数 是正交的,则:52汕头大学学报( 自然科学版)第 22 卷 =(x) , (x- l) = P (Mx - k) ,P (Mx - Ml - n) 0, l" k" nkZnZ=P P (Mx - k) ,(Mx - Ml - n) =1P P ,=1P P ."" k n"" k n k n" k k - MlkZ nZM kZ nZM kZ当 l 0 时, 1 "PkPk - Ml = 0, 即"Pk Pk - Ml = 0, 这同PkkZS 矛盾. 故 不是正交的.M kZkZ4结语本文讨论了伸缩因子为 M 的全正加细函数的构造问题, 详细研究了一类全正、对称、光滑的加细函数的时域构造方法, 并证明了这类函数的一些基本性质, 为小波在信号处理理论的应用中提供了更为灵活的时频分析工具, 有助于通道滤波器理论的发展.参考文献:1 Gori L, Pitolli F. 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