维向量组的极大线性无关组.ppt

3.4 向量组的极大线性无关组,定义1 若向量组 中的每一个向量都可以由向量组 线性表示,则称向量组 可由向量组线性表示，若向量组 和 可以互相线性表示，则称两个向量组等价,一、等价的向量组,向量组 可由 线性表示，即,向量组 可由 线性表示等价于存在 的 矩阵 使,若向量组 和 等价,等价向量组的性质：,1. 自反性：一个向量组与其自身等价,2. 对称性：若向量组 和 等价，则向量组 和 等价。,3. 传递性：若向量组 和 等价，向量组 和 等价，则向量组 和 等价。,定理1 设 中的两个向量组 和 若向量组 可由 线性表示，且 ，则向量组 线性相关,少的表示多的，多 的一定线性相关,注：1. ,不能相等;,2. 时，结论不一定成立.,（证明略）,推论1 若向量组 可由向量组 线性表示，又已知 线性无关，则必有,推论2：两个线性无关的向量组互相等价，则它 们所含的向量个数相等,注：若只是等价的向量组，它们所含的向量 个数未必相等,定理1的逆否命题：,极大线性无关组等价定义,二极大线性无关组,1.一个向量组的极大线性无关组可能不唯一,2.向量组和其极大线性无关组等价,(一个向量组的任何两个极大线性无关组都等价),3.一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数唯一确定。,注:,三 向量组的秩与矩阵的秩的关系,定理2 矩阵A的行初等变换不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系,定义 一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数称为向量组的秩. 线性无关的向量组的秩等于向量组的向量的个数.,例2,等于它的行向量组的秩.,定理 3 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也,求向量组的最大无关组的步骤:,例3：设有向量组,(1)求向量组的秩，并讨论它的线性相关性。,(2)求向量组的一个极大线性无关组。,(3)把其余向量表示成为该极大线性无关组的 线性组合,解：取,(1)向量组即为A的列向量R(A)=2, 所以向量组的秩为2。,(2) 为向量组的一个极大线性无关组,(3),推论：设A 为 矩阵，秩 ，则有:,(1)当r=m 时，A 的行向量组线性无关;当r<m时， A的行向量组线性相关,(2)当r=n 时，A 的列向量组线性无关;当r<n时，A的列向量组线性相关。,当A为n阶方阵时，即当m=n时，A的列(行)向量组线性无关的充要条件是,由矩阵的秩和它的向量组的秩的关系，我们立刻会发现一个有趣的现象：,3.5 向 量 空 间,一、向量空间的定义,定义 1 设 V 为 n 维向量的集合,如果集合 V,非空, 且,那么就称集合 V 为向量空间.,则 a + b V;,若 a V, R, 则 a V.,若 a V, b V,例1 判别下列集合是否为向量空间.,解,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,一般地，L = x = a + b | , R ,x1 =1a +1b, x2 =2a +2b,则有,x1 + x2 = (1+1)a + ( 1 + 2 )b L,kx1 = (k1)a + (k1)b L .,这个向量空间称为由向量 a , b 所生成的向量空间.,是一个向量空间.,因为若,由向量组 a1 , a2 , . , am 所生成的向量,空间一般形式为,L=x=1a1 + 2a2 + . + mam | 1, 2 ,., m R .,二、向量空间的基 向量空间的维数 定义 2 设有向量空间 V1 及V2 , 若 V1 V2,总有 V Rn , 所以这样的向量空间总是 Rn 的子空间.,例如：任何由 n 维向量所组成的向量空间 V,就称 V1 是 V2 的子空间.,向量空间.,定义 3 设V 为向量空间, 如果r 个向量,a1 , a2 , . , ar V , 且满足,(i) a1 , a2 , . , ar 线性无关;,(ii) V中任一向量都可由a1 , a2 , . , ar 线性,表示.,那么,向量组 a1 , a2 , . , ar 就称为向量空间 V 的,一个基, r 称为向量空间 V 的维数,并称 V为 r 维,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的极大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,