1、目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的 习题课（一）一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题解法及应用 第八章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 关键关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解 变量代换法代换因变量因变量代换某组合式某组合式三个标准类型可分离变量方程 齐次方程 线性方程 代换自变量自变量目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求下列方程的通解提示提示:(1)故为分离变量方程:通解(2)这是一个齐次方程，令 y=u x,化为分离变量方程:目录 上页 下页
2、 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求下列方程的通解:提示提示:(1)令 u=x y,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为目录 上页 下页 返回 结束 令 y=u t(齐次方程)令 t=x 1,则可分离变量方程求解化方程为目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解解:(1)所
3、以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:目录 上页 下页 返回 结束(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设河边点 O 的正对岸为点 A,河宽 OA=h,一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示提示:如图所示建立坐标系.设时刻t 鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为 a,两岸 则关键问题是正确建立数学模型,要点:则鸭子游速 b 为目录 上页 下页 返回 结束 定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(自己求解)(齐次方程)
