1、第八章第八章 平面与立体相交（截交线）、平面与立体相交（截交线）、直线与立体相交直线与立体相交 截交线的概念和画法截交线的概念和画法讨论的问题：截交线的分析和作图讨论的问题：截交线的分析和作图。截平面截平面与与立体表面立体表面的的交线交线 因截平面的截切，在因截平面的截切，在立体上形成的平面。立体上形成的平面。用以截切立体的平面用以截切立体的平面 截平面截平面 截断面截断面 截交线截交线截交线截交线是是截平面截平面与与立体表面立体表面共有点的集合共有点的集合81 截交线截交线 平面体的截切平面体的截切 回转体的截切回转体的截切截交的形式截交的形式截平面与截平面与平面立体平面立体相交相交截平面与
2、截平面与回转体回转体相交相交平面体的截交线平面体的截交线 截交线截交线是一个由是一个由直线段直线段组成的组成的封闭封闭的的平面多边形平面多边形，其，其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的切位置。形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的切位置。截断面截断面的每条边都是的每条边都是截平面截平面与与棱面的交线棱面的交线。求求截交线的实质是截交线的实质是求两平面的交线求两平面的交线截交线的性质：截交线的性质：一、平面体截切的基本形式一、平面体截切的基本形式二、平面截切体的画图步骤二、平面截切体的画图步骤 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法：求各求各棱线棱线与截平面的与截平面的交点交点棱线法棱线
3、法 求各求各棱面棱面与截平面的与截平面的交线交线棱面法棱面法关键是正确地画出截交线的投影关键是正确地画出截交线的投影。求截交线的步骤：求截交线的步骤：截平面与立体的相对位置截平面与立体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。的交线，并连接成多边形。例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。3 3 2 2 1 1(4)空间分析空间分析交线
4、的形状？交线的形状？投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性截平面与四棱锥截平面与四棱锥的四条棱线相交的四条棱线相交？截交线在俯、左截交线在俯、左视图上的形状？视图上的形状？1 12 24 43 31 1 4 4 3 3 2 2 例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。我们采用的是我们采用的是哪种解题方法哪种解题方法？棱线法！棱线法！注注 意：意：有有两个截平面两个截平面截切四棱锥。截切四棱锥。当当平面立体平面立体只有只有局部局部被截切被截切时，时，先假想
5、先假想为整体被截切，为整体被截切，求出截交线后再取局部。求出截交线后再取局部。例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 1(2(2)1 12 2I I、IIII是两个是两个截平面截平面的交线的交线1 1 2 2 例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例例 3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4
6、 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交检查截交线的投影线的投影例例 3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。注注 意：意：有有两个截平面两个截平面截切四棱锥。截切四棱锥。当当平面立体平面立体只有只有局部局部被截切被截切时，时，先假想先假想为整体被截切，为整体被截切，求出截交线后再取局部。求出截交线后再取局部。例例4 4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。I I、IIII点是两个点是两个截平面截平面的交线的交线1 1(2(2)1 1 2 2 2 21 1例例4 4
7、求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 1(2(2)1 1 2 2 2 21 1回转体的截交线回转体的截交线一、回转体截切的基本形式一、回转体截切的基本形式截交线的性质：截交线的性质：截交线是截交线是截平面截平面与与回转体表面回转体表面的的共有线共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面截平面与与回转体回转体轴线的相对位置轴线的相对位置。截交线（直线或曲线）围成截交线（直线或曲线）围成封闭的平面图形封闭的平面图形。二、求平面与回转体的截交线的一般步骤二、求平面与回转体的截交线的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分
8、析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截交线的形状。分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，予见未知予见未知投影。投影。画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。先找特殊点，补充一般点先找
9、特殊点，补充一般点。平行平行平行两直线平行两直线P PV V 平面与圆柱面的截交线平面与圆柱面的截交线 截平面与圆柱面的截交线的形状截平面与圆柱面的截交线的形状取决取决于于截平面截平面与与圆柱轴线圆柱轴线的的相对位置相对位置垂直垂直圆圆P PV V椭圆椭圆倾斜倾斜P PV V截交线的截交线的空间形状空间形状？截交线的已知投影？截交线的已知投影？例例1 1：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点找一般点找一般点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影截交线的侧面投截交线的侧面投影是什么形状？影是什么形状？a a b b(d d)c c d d a ac cd db bc c a
10、a e ef fe e(f(f)f f e e b b C CA AB BD DF FE E例例1 1：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点找一般点找一般点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截平面与圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹角的变化而改变。变化而改变。4545什么情况下什么情况下投影为圆呢投影为圆呢？截平面与圆柱轴截平面与圆柱轴线成线成4545时。时。同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。例例2 2：求截口圆柱的投影：求截口圆柱的投影空间及投影分析空
11、间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤：2 2 1 1 1 1(2(2)2 21 1III2 2 1 1 1 1(2(2)2 21 1III例例2 2：求截口圆柱的投影：求截口圆柱的投影2 2 1 1 1 1(2(2)2 21 1例例3 3：求左视图：求左视图III例例3 3：求左视图：求左视图2 2 1 1 1 1(2(2)2 21 1例例4 4：求左视图：求左视图例例4 4：求左视图：求左视图仔细比较下列两立体的各个视图，有何不同？仔细比较下列两立
12、体的各个视图，有何不同？画一画：画一画：这这两个两个立立体的视图是什么样体的视图是什么样？例例5 5：求截口圆柱的投影：求截口圆柱的投影1 1(2(2)2 21 11 1 2 2 例例5 5：求截口圆柱的投影：求截口圆柱的投影1 1(2(2)2 21 11 1 2 2 例例6 6：求俯视图：求俯视图例例6 6：求俯视图：求俯视图例例7 7：求左视图：求左视图虚实分界点虚实分界点例例7 7：求左视图：求左视图 圆锥体的截交线圆锥体的截交线 根据根据截平面截平面与与圆锥轴线圆锥轴线的相对位置不同，的相对位置不同，截交线有截交线有五种五种形状。形状。过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线P PV V圆圆P
13、 PV V=90=90抛物线抛物线P PV V=P PV V椭圆椭圆双曲线双曲线P PV V=0=0或或空间及投影分析空间及投影分析 截平面截平面P P是是正平面正平面，截交线为截交线为双曲线双曲线。交线。交线的侧面投影的侧面投影积聚积聚成一直成一直线，正面投影线，正面投影反映实形反映实形。P P 例例1:求作平行于圆锥轴线的平面求作平行于圆锥轴线的平面P与圆锥面的交线与圆锥面的交线的正面投影。的正面投影。a a b b c c c c d d e e d d e e 作交线的正面投影作交线的正面投影找特殊点：找特殊点：A A、B B、C C点点补充一般点：补充一般点：D D、E E点点光滑连
14、接各点光滑连接各点如何作一般点？如何作一般点？用用辅助纬圆法。辅助纬圆法。分析轮廓线的投影分析轮廓线的投影a a b b C CA AB BD DE E例例1:求作平行于圆锥轴线的平面与圆锥面的交线的求作平行于圆锥轴线的平面与圆锥面的交线的正面投影。正面投影。C CA AB BD DE Ea a b b c c d d e e a a b b c c d d e e 例例2:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。截交线的空截交线的空间形状？间形状？截交线的投截交线的投影特性？影特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另如何找椭圆另一根轴的端点一根轴的端点
15、补充一般点补充一般点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影轮廓线上的点轮廓线上的点极限点极限点(轴端点轴端点)中点中点例例2:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。例例3：已知带切口的圆锥的主视图，求作其另二个视图。：已知带切口的圆锥的主视图，求作其另二个视图。空间及投影分析空间及投影分析 注注 意：意：当有当有多个截平面多个截平面截切圆（台），截切圆（台），且只有且只有局部局部被截切，被截切，先假想先假想为整体被截切，为整体被截切，求出截交线后求出截交线后再取局部。多个截面互相影响。再取局部。多个截面互相影响。1、被几个面
16、截切？、被几个面截切？2、各自截交线的形状？、各自截交线的形状？投影怎样？投影怎样？作图：作图：11223 3 4 43“（4“）3“(4”)12341“（1“）1“(2”)113 3 11223 3 4 43“3“(4”)1234 1“（1”）1“(2”)球体的截切球体的截切 平面与圆球相平面与圆球相交，交，截交线的形状截交线的形状都是圆都是圆，但根据截，但根据截平面与投影面的相平面与投影面的相对位置不同，对位置不同，其其截截交线的投影可能为交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成圆、椭圆或积聚成一条直线一条直线。12342(1)(2”)1”443 3”4”4”5”555”5”例：求圆球被正垂面相交
17、的截交线的投影例：求圆球被正垂面相交的截交线的投影例例1 1：求半球体截切后的俯视图和左视图。：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面水平面截圆球的截交线截圆球的截交线的投影，在的投影，在俯视图俯视图上上为为部分圆弧部分圆弧，在，在侧视图侧视图上上积聚为直线积聚为直线。两个侧平面两个侧平面截圆球的截截圆球的截交线的投影，在交线的投影，在左视图左视图上上为部分圆弧为部分圆弧，在，在俯视俯视图图上上积聚为直线积聚为直线。例例1 1：求半球体截切后的俯视图和左视图。：求半球体截切后的俯视图和左视图。例例2：已知一建筑物球壳屋顶的：已知一建筑物球壳屋顶的H投影，求投影，求该球壳屋顶的该球壳屋顶的V投影
18、和投影和W投影。投影。QHrPH例例2：已知一建筑物球壳屋顶的：已知一建筑物球壳屋顶的H投影，求投影，求该球壳屋顶的该球壳屋顶的V投影和投影和W投影。投影。组合体表面的截交线组合体表面的截交线 首先进行形体分析，弄清组合体由哪些基本首先进行形体分析，弄清组合体由哪些基本回转体组成，找出相邻回转体之间的分界线。回转体组成，找出相邻回转体之间的分界线。然后分别求出各个截平面与这些基本回转体的然后分别求出各个截平面与这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。截交线，并依次将其连接。ABC 例例1 1：求作顶尖的俯视图：求作顶尖的俯视图例例1 1：求作顶尖的俯视图：求作顶尖的俯视图例例2 2：完成图示组
19、合体的主、俯两视图：完成图示组合体的主、俯两视图ABCb b a a a ab bc cc cb b(a a)c c 例例2 2：完成图示组合体的主、俯两视图：完成图示组合体的主、俯两视图b b a a a ab bc cc cb b(a a)c c ABC 82 直线与立体相交直线与立体相交贯穿点的概念：直线与立体的交点（成对出现）。贯穿点的概念：直线与立体的交点（成对出现）。它是直线与立体表面共有点的集合它是直线与立体表面共有点的集合求法：求法：1、直线与平面立体相交可用面上、直线与平面立体相交可用面上取点的方法以及线面相交取点的方法以及线面相交2、直线与曲面立体相交时，、直线与曲面立体相
20、交时，主要看曲面是否具有积聚性：主要看曲面是否具有积聚性：如有，可利用积聚性投影直接求；如有，可利用积聚性投影直接求；如否，可用辅助素线法或玮圆法。如否，可用辅助素线法或玮圆法。AB()()ABAB()一、直线与平面立体相交一、直线与平面立体相交OXabab121(2)AB例例1 求求AB与三棱柱的贯穿点与三棱柱的贯穿点例例2：求直线：求直线AB与三棱锥的贯穿点与三棱锥的贯穿点ababPv辅助平面辅助平面sd efsdef121233kkh(h)二、直线与曲面立体相交二、直线与曲面立体相交例例3：求直线：求直线AB与圆柱的贯穿点与圆柱的贯穿点ababklk(l)A(B)例例4：求直线：求直线A
21、B与圆球的贯穿点与圆球的贯穿点Pv辅助平面辅助平面baabkl(k)l?小小 结结一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是的封闭的平面多边形，多边形的边是截平截平 面与棱面的交线面与棱面的交线。求截交线的方法：求截交线的方法：棱线法棱线法 棱面法棱面法二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。平面与被截立体轴线的相对位置。截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。当截交线的投影为非圆曲线时，当截交线的投影为非圆曲线时，要要先
22、先找特殊点，再补充中间点找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接，最后光滑连接各点。各点。注意分析平面体的棱线和回转体轮廓注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。素线的投影。分析截平面与被截立体对投影面的相对分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以位置，以确定截交线的投影特性确定截交线的投影特性。求截交线求截交线三、解题方法与步骤三、解题方法与步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状确定截交线的形状。当单体被多个截平面截切时，要当单体被多个截平面截切时，要逐个逐个截截 平面平面进行截交线的分析与作图进行截交线的分析与作图。当只有。当只有 局部被截切局部被截切时，先时，先按整体被截切求出截按整体被截切求出截 交线交线，然后，然后再取局部再取局部。求求复合回转体复合回转体的截交线，应首先分析复的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后们的连接关系，然后分别求出分别求出这些这些基本基本 回转体的截交线回转体的截交线，并依，并依次将其连接次将其连接。
