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初三数学总复习几何内容为主的综合题 北京八中 刘颖 几何综合题大多采用“问题探究问题解决”的模式展开问题，立意新颖，构思巧妙，各小 题之间承接性强，层层深入，从而出现更多的思维层次，体现试题的甄别和选拔功能。 一. 考试说明要求（与几何内容有关的“C”级要求） “C”级要求：通过观察、实验、猜想、计算、推理、验证等思维活动，理解或提出问题，寻求解决 问题的思路；综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法，实现对数学问题或实际问题的分析 与解决。 1. 图形的性质 （1）推理与证明 C：运用归纳和类比发现结论 （2）直线、射线和线段C：运用两点间距离的有关内容 （3）角平分线C：运用角平分线的有关内容解决有关问题 （4）线段垂直平分线C：运用线段垂直平分线的有关内容解决有关问题 （5）三角形C：运用三角形三边关系的有关内容解决有关问题；运用三角形内角和定理的有关 内容解决有关问题 （6）三角形中位线C：运用三角形中位线的有关内容解决有关问题 （7）全等三角形C：运用全等三角形的有关内容解决有关问题 （8）等腰三角形和等边三角形C：运用等腰三角形和等边三角形的有关内容解决有关问题 （9）直角三角形、勾股定理、锐角三角函数及解直角三角形C：运用直角三角形的有关内容解 决有关问题 （10）平行四边形C：运用平行四边形的有关内容解决有关问题 （11）特殊的平行四边形C：运用矩形、菱形、正方形的有关内容解决有关问题 （12）圆的有关性质C：运用圆的性质的有关内容解决有关问题 （13）直线和圆的位置关系C：运用圆的切线的有关内容解决有关问题 2. 图形的变化 （1）图形的平移C：运用平移的有关内容解决有关问题 （2）图形的轴对称C：运用轴对称的有关内容解决有关问题 （3）图形的旋转C：运用旋转的有关内容解决有关问题 3. 图形与坐标 坐标与图形运动C：运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题 二. 复习建议 1. 对于综合题的复习，是要通过数量有限的题目的练习、分析、讲解和总结，来提高学生的分析问 题、解决问题的能力，适宜“以点带面” 、 “以问题带方法”的方法. 即在选择典型问题加以分析的 基础上，将题目讲深、讲透，也可将问题适当进行变化、类比，力求充分让学生体会数学思想与数 学方法在解决问题中的灵活、综合的应用. 2. 可以将一道综合题拆分成若干个小问题，将一个复杂图形拆分成若干个基本图形，这样做，一方 面帮助学生提高分析问题的能力，另一方面也可以提高学生处理综合题的自信. 3. 轴对称、平移和旋转变换在“考试说明中”均有“C”级的要求，要引起注意. 4. 针对“有关运动变换” 、 “有关阅读、探究、操作”等问题，重点要教给学生分析和解决这类问题 的通用的、简单易行的方法. 例如：“运动变换型”问题一定要多画图形来帮助寻找变化规律，注 意一般位置和特殊位置的关系，并关注在变化过程中的一些不变的量或不变的关系；“阅读、探究、 操作”问题通常有定义新概念和定义新方法两类，要认真审题，既要“照猫画虎” ，又要体现虎与猫 的“根本区别” ，等等. 举例： （1）如图，在ABC 中， C=90°，AC =4，BC=2，点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中， 点 B 到原点的最大距离是( ) A. B. C. D. 62562 （2） （学探诊第 33 页第 6 题）已知等腰ABC 中，ADBC 于 D，且 AD= AB，则 ABC 底角的度数为 _1 （3） （2014 门头沟一模） 已知：在ABC 中，ABC=ACB= ， _ 点 D 是 AB 边上任意一点， _ 将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 与过点 A 且平行于 BC 边的直线交于点 E. _ 如图 1，当 =60°时，请直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量关系；_ _ 如图 2，当 =45°时，判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系，并进行证明； _ 如图 3，当 为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量关系： _ （用含 的式子表示,其中 ）09a _ 三. 对于进一步培养和提高解决几何综合问题的能力的几点想法 1. 准确理解和使用定义、定理，重视基本图形、基本方法及常添辅助线的总结和归纳，加强基本图 形的识别 （1）部分常用辅助线的作法举例 与角平分线有关的辅助线的作法 向角两边作垂线段； 作平行线，构造等腰三角形； 在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 与线段长度相关的辅助线的作法 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其 中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可； 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长 的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可； 倍长中线：如果出现了三角形的中线，将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形； 遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。 ECBAD 图 1 ECBAD 图 2 CBAD 图 3 与等腰、等边三角形相关的辅助线的作法 考虑底边上的三线合一； 旋转一定的度数，构造全等三角形（等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转 60 度） 。 与菱形有关的辅助线的作法 作菱形的高； 连结菱形的对角线。 与矩形有关的辅助线作法 计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形，借助勾股定理解决问题； 证明或探索题，一般连结矩形的对角线，借助对角线相等这一性质解决问题。 与正方形有关的辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，作正方形对角线是解决 正方形问题的常用辅助线； 旋转构造全等形。 与圆有关的辅助线的作法 遇到弦时（解决有关弦的问题时） ，常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径） ，或再连 结过弦的端点的半径（利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用 弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量） 。 遇到有直径时，常添加直径所对的圆周角（利用圆周角的性质得到直角或直角三角形） 。 遇到 90 度的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端点（利用圆周角的性质，可得到直 径） 。 遇到弦时，常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形；还可连结圆周上一点和弦的两个端 点（可得等腰三角形；据圆周角的性质可得相等的圆周角） 。 遇到有切线时，常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） （利用切线的性质定理可得直角或直 角三角形） 。 遇到证明某一直线是圆的切线时，若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段； 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 。 遇到三角形的内切圆时，连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段（利用内心 的性质，可得：内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；内心到三角形三条边的距离 相等） 。 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点（外心到三角形各顶点的距离相等） 。 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时，常常添加辅助圆（以便 利用圆的性质） 。 （2）常添辅助线习题举例： 【截长补短】 （2013 朝阳二模）在ABCD 中，E 是 AD 上一点，AE =AB，过点 E 作直线 EF，在 EF 上取一点 G， 使得EGB=EAB，连接 AG. 如图 1，当 EF 与 AB 相交时，若EAB=60°，求证：EG =AG +BG； 如图 2，当 EF 与 AB 相交时，若EAB= （0º 90º），请你直接写出线段 EG、AG 、BG 之间的 数量关系（用含 的式子表示）； 如图 3，当 EF 与 CD 相交时，且EAB=90°，请你写出线段 EG、AG 、BG 之间的数量关系，并 证明你的结论. 【中位线】 （2013 顺义一模）如图 1，在四边形 ABCD中， ， EF、 分别是 BCAD、 的中点，连结EF 并延长，分别与 B、 的延长线交于点 MN、 ，则 N（不需证明） 小明的思路是：在图 1 中，连结 ，取 的中点 H，连结 、 ，根据三角形中位线定理 和平行线性质，可证得 E 问题：如图 2，在 AC 中， B， 点在 AC上， B， EF、 分别是 BCA、 的 中点，连结 EF并延长，与 的延长线交于点 G，若 60F°，连结 GD，判断 的 形状并证明 图 3 EDACBGF 图 2 EDACBGF 图 1 EDA CBGF 【倍长中线】 （2013 门头沟二模）已知：在AOB 与COD 中，OA OB，OCOD， 90CODAB 如图 1，点 C、D 分别在边 OA、OB 上，连结 AD、BC，点 M 为线段 BC 的中点，连结 OM，则 线段 AD 与 OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ； 如图 2，将图 1 中的COD 绕点 O逆时针旋转，旋转角为 ( 90)连结 AD、BC，点 M 为线段 BC 的中点，连结 OM请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立若成立，请证明；若 不成立，请说明理由； 如图 3，将图 1 中的 COD 绕点 O 逆时针旋转到使 COD 的一边 OD 恰好与AOB 的边 OA 在同一条直线上时，点 C 落在 OB 上，点 M 为线段 BC 的中点请你判断（1）中线段 AD 与 OM 之 间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明 【“弦图”】 （2013 朝阳一模）阅读下面材料： 小雨遇到这样一个问题：如图 1，直线 l1l 2l 3 ，l 1 与 l2 之间的距离是 1，l 2 与 l3 之间的距离是 2，试画出一个等腰直角三角形 ABC，使三个顶点分别在直线 l1、l 2、l 3 上，并求出所画等腰直角三 角形 ABC 的面积 图1OMA B CD 图2 D C B A M O 图3 D C B A M Ol 1l2l3 图 1 l1HCBADEl2l3 图 2 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形 的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题具体作法如图 2 所示：在直线 l1 任取一点 A， 作 AD l2 于点 D，作DAH=90°，在 AH 上截取 AE=AD，过点 E 作 EBAE 交 l3 于点 B，连接 AB，作 BAC=90 °，交直线 l2 于点 C，连接 BC，即可得到等腰直角三角形 ABC 请你回答：图 2 中等腰直角三角形 ABC 的面积等于 参考小雨同学的方法，解决下列问题： 如图 3，直线 l1l 2l 3, l1 与 l2 之间的距离是 2，l 2 与 l3 之间的距 离是 1,试画出一个等边三角形 ABC，使三个顶点分别在直线 l1、l 2、l 3 上，并直接写出所画等边三角形 ABC 的面积（保留画图痕 迹） （3）部分常见基本图形举例 与相似及圆有关的基本图形 EDABC ODCAB ODACBE OFECABD C'AB' C'B'BAB'C'CBA OABCC' B' B'OABC OB' 'ABC l1l2l3 图 3 正方形中的基本图形 2. 几种几何综合题中的常见类型 【有关“特殊”与“ 一般”问题】重视在“变化”中寻找“ 不变”，在“特殊”与“一般”间进行类比 （2014 门头沟一模）已知：在ABC 中，ABC =ACB=，点 D 是 AB 边上任意一点，将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 与过点 A 且平行于 BC 边的直线交于点 E. 如图 1，当 =60°时，请直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量关系；_ 如图 2，当 =45°时，判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系，并进行证明； 如图 3，当 为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量关系： _ （用含 的式子表示,其中 ）09a 解答： BD=AE； BD= AE；理由如下：2 过点 D 作 DF AC，交 BC 于 F DF AC， ACB= DFC FEABDC FDCBAEG ECBAD 图 1 ECBAD 图 2 CB AD 图 3 FECB AD ABC= ACB=， =45°， ABC= ACB= DFB=45° DFB 是等腰直角三角形 BD =DF= BF 2 AE BC， ABC+ BAE=180° DFB + DFC=180° BAE= DFC ABC+ BCD= ADC， ABC= CDE=， ADE = BCD ADE FCD CFADE DF AC， B BD= AE2FDBAE2 (3) 补全图形如图 3， 【有关几何变换问题】重视变换思想、轨迹思想在解决几何综合题中的应用 (2014 西城一模) 四边形 ABCD 是正方形，BEF 是等腰直角三角形，BEF =90°，BE=EF G 为 DF 的中点，连接 EG，CG ，EC 如图 1，若点 E 在 CB 边的延长线上，直接写出 EG 与 GC 的位置关系及 的值；ECG 将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针方向旋转至图 2 所示位置，在（1）中所得的结论 是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 将图 1 中的BEF，绕点 B 顺时针旋转 （0° 90°），若 BE=1，AB= ，2 当 E，F，D 三点共线时， 求 DF 的长及 的值.tanABF 解答: ， ； EGC2 G F E D CB A G F E D CB A CDBA 备用图 ECBAD 图 3 图 2 中的结论仍然成立 证明：取线段 BF 的中点 M，连接 EM， MG， BEF 是等腰直角三角形， ，且 FME=90° 12EBF 连接 BD，取线段 BD 的中点 N，连接 GN， CN， ABCD 是正方形， ，且 CND=90° 12GBD G 是 DF 的中点， ， GN FB 1=2 12FEM 同理 ， MG BD 2= 3 ， GN FB12MBDCN GNFBEM 1=3 EMG= EMF+1= CND+2 = GNC EMG GNC EG=GC EGM= GCN 在 CNG 中， GNC+ GCN+ CGN=180° 3+ GCN+ CGN=90° 2+ EGM+ CGN=90° 即 EGGC, 2ECG 当 E， F， D 三点共线时，连接 BD. BE=1， AB= ， ， BD= BF2 在 Rt BED 中， 1sinE30DB 3E3 450FBDB 1AF3tanABF 【有关作图问题】重视基本作图，认真审题，准确作图，注意作图过程中的分类讨论 (2014 顺义一模) 已知：如图， 中， MNQ 请你以 MN 为一边，在 MN 的同侧构造一个与 全等的三角NQ D CBA GFE D CB A ED CBA RPQ NM 形，画出图形，并简要说明构造的方法； 参考中构造全等三角形的方法解决下面问题： 如图，在四边形 ABCD 中， ， 180ACBDBD 求证：CD=AB 解：（1）过点 N 在 MN 的同侧作 MNR = QMN， 在 NR 上截取 NP=MQ，连结 MP 即为所求MNP （2）证明：延长 BC 到点 E，使 CE=AD，连结 AE ， ，180ACBD180ACBE 又 AD = CE， AC = CA， D D= E， CD=AE B= D ， B= E AE =AB CD=AB 【有关阅读、探究、操作问题】重视仔细审题，注意提取题目中的关键信息 ( 2014 年河南中考)（1）问题发现 如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D 、E 在同一直线上， 连接 BE 填空：AEB 的度数为 ；线段 AD、BE 之间的数量关系是 。 （2）拓展探究 如图 2，ACB 和DCE 均为等边三角形， ACB=DCE=900, 点 A、D、E 在同一直线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE。 请判断AEB 的度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由。 （3）解决问题 如图 3，在正方形 ABCD 中，CD= 2。若点 P 满足 PD=1,且 BPD=900，请直接写出点 A 到 BP 的 距离。 解答： 解：（1 ）如图 1， ACB 和DCE 均为等边三角形， CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90° ACD=BCE 在ACD 和BCE 中， ACDBCE ADC=BEC DCE 为等边三角形， CDE=CED=60° 点 A，D ，E 在同一直线上， ADC=120° BEC=120° AEB=BECCED=60° 故答案为：60° ACDBCE， AD=BE 故答案为：AD=BE （2）AEB=90° ，AE=BE+2CM 理由：如图 2， ACB 和DCE 均为等腰直角三角形， CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90° ACD=BCE 在ACD 和BCE 中， ACDBCE AD=BE ，ADC=BEC DCE 为等腰直角三角形， CDE=CED=45° 点 A，D ，E 在同一直线上， ADC=135° BEC=135° AEB=BECCED=90°CD=CE ，CMDE， DM=ME DCE=90°， DM=ME=CM AE=AD+DE=BE+2CM （3）PD=1， 点 P 在以点 D 为圆心，1 为半径的圆上 BPD=90°， 点 P 在以 BD 为直径的圆上 点 P 是这两圆的交点 当点 P 在如图 3所示位置时，连接 PD、PB、PA ，作 AHBP，垂足为 H，过点 A 作 AEAP， 交 BP 于点 E，如图 3 四边形 ABCD 是正方形， ADB=45° AB=AD=DC=BC= ，BAD=90° BD=2 DP=1， BP= A、P、D、B 四点共圆， APB=ADB=45° PAE 是等腰直角三角形 又BAD 是等腰直角三角形，点 B、E、P 共线，AHBP， 由（2）中的结论可得： BP=2AH+PD =2AH+1 AH= 当点 P 在如图 3所示位置时， 连接 PD、PB、PA ，作 AHBP，垂足为 H， 过点 A 作 AEAP，交 PB 的延长线于点 E，如图 3 同理可得：BP=2AHPD =2AH1 AH= 综上所述：点 A 到 BP 的距离为 或