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初三知识网络总结 图形与证明 等腰三角形的 性质与判定 直角三角形 的性质与判 定 平行四边形、矩形、 菱形、正方形的性 质和判定 等腰梯形的 性质和判定 中位线 1、等腰三角形的 两个底角、顶角平 分线、底边上的中 线和高都相等 2、如果一个三角 形的两个角相等， 那么这两个角所对 的边也相等 1、斜边和一条直角 边对应相等的两个直 角三角形全等 2、角平分线上的点 到这个角的两边距离 相等 3、角的内部到角的 两边距离相等的点在 这个角的平分线上 1、平行四边形的对边、对 角相等、对角线互相平分 2、矩形的四个角都是直角、 对角线相等 3、直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半 4、菱形的四条边都相等、 对角线互相垂直、并且每 一条对角线平分一组对角 5、一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形 6、对角线互相平分的四边 形是平行四边形 7、对角线相等的平行四边 形是矩形 8、有三个角是直角的四边 形是矩形 9、对角线互相垂直的平行 四边形是菱形 10、四边都相等的四边形 是菱形 1、在同一底 上的两个角相 等的梯形是等 腰梯形 2、等腰梯形 的两个底角、 对角线相等 1、三角形的中 位线平行于第三 边，并且等于第 三边的一半 数据的离散程度 极差 方差和标 准差 用计算机求标准差 和方差 极差：一组数 据中最大值与 最小值的差 1、方差：一组数据中，每个数与平均 数的差的平方和，在除以这组数据的 个数，越小越稳定 2、标准差：方差的算术平方根，越小 越稳定 省略 二次根式 二次根式 二次根式的加减乘除 1、 是二次根式， a 是被开方数a 2、 . 20,若 3、 2 1、同类二次根式：经化简后，被开方数相同 的二次根式 2、一般地，二次根式相加减，先化简每个二 次根式，然后再合并同类二次根式 3、 abAab 一元二次方程 一元二次方程 一元二次方程的解法 用一元二次方程解决问题 概念：只含有一个 未知数，且未知数 的最高次数是 2 的 方程是一元二次方 程 1、直接开平方法 2、配方法 3、公式法 判别式： ，方程有240bac 两个不等的实根 =0，方程有两个相等的2 实数根 ，方程没有实数根c 4、因式分解法 实际问题，列方程，解方 程的一般步骤，求解、检 验，作答 中心对称图形（二） 圆 1、圆、圆 心、半径 2、点与圆 的位置关系： 点到圆的距 离为 d,半径 为 r 若 dr，点在 圆外； 若 d=r，点 在圆上 3、弦、直 径、弧、等 圆、等弧 圆的对称性 1、在同圆或等圆 中，如果两个圆心 角、两条弧、两条 弦中有一组量相等， 那么其余各组量都 分别对应相等 2、圆心角的度数 与它所对的弧的度 数相等 3、圆是轴对称图 形，过圆心的任意 一条直线都是它的 对称轴 圆周角确定圆 的条件 1、概念 2、同弧或等弧 所对应的圆周 角相等，且都 等于该弧所对 的圆心角的一 半 3、直径或半圆 所对的圆周角 是直角， 的09 圆周角所对的 弦是直径 4、不在同一直 线上的三点确 定一个圆 5、三角形的外 接圆、外心， 内接三角形 直线与圆的位置 关系 1、直线与圆 相切、切线、 切点 2、直线与圆 相离、相交 3、直线与圆 的位置关系： 圆心到直线的 距离为 d，半 径为 r，若 dr，直线在 圆外；若 d=r，直线在 圆上；dR+r， 两圆外离；若 d=R+r，两圆外切； 若 R-rdR+r，两 圆相交；若 d=R- r，两圆内切；若 dR-r，两圆内含 3、正多边形的中 心、外接圆 弧长与扇形的面积、 圆锥的侧面积和全 面积 1、圆周长、圆周率： 2CR 2、弧长： 180nl 3、圆面积： 2SR 4、扇形面积： = 2360n LR 12 5、圆锥的母线、高 侧面积 = 12SrlAl 二次函数 二次函数 二次函数的图像和 性质 二次函数和一元二 次方程 二次函数的应用 2、二次函数的概念 定义域和值域 1、二次函数的图像： 抛物线 2yax 在直角坐0a 标系的的图像 1、二次函数的单调性、 最值 1、函数图象与 x 轴的 交点 2、一元二次方程的实 数根 3、实数根与交点的关 系 1、图像和实数根与现实 问题的关系 锐角的三角函数 正切、正弦、余 弦 概念 特殊角的三角函数 由三角函数值求锐 角 特殊角的三角函数 值表 计算器的使用 解直角三角形 锐角三角形的简单 应用 1、勾股定理 2、互为余角 3、三角函数的 定义 1、问题情境 2、建立模型、直 角三角形 3、解直角三角形 统计的简单应用 货比三家 中学生的视觉调查 概率 抽签方法合理吗 概率帮你做估 计 保险公司怎样 才能不亏本 例 1： 例 2： 例 3： 例 4： 例 5： 例 6： 例 7： 例 8： 中考数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分） 1、 （2011 常州）在下列实数中，无理数是（ ） A、2 B、0 C、 D、 考点：无理数。 专题：存在型。 分析：根据无理数的定义进行解答即可 解答：解：无理数是无限不循环小数， 是无理数，2，0， 是有理数 故选 C 点评：本题考查的是无理数的定义，即初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不 尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 2、 （2010 贵港）下列计算正确的是（ ） A、a 2a3=a6 B、y 3÷y3=y C、3m+3n=6mn D、 （x 3） 2=x6 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。 分析：根据同底数幂的运算法则、幂的乘方、合并同类项的法则进行计算即可 解答：解：A、应为 a2a3=a5，故本选项错误； B、应为 y3÷y3=1，故本选项错误； C、3m 与 3n 不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、 （x 3） 2=x3×2=x6，正确 故选 D 点评：考查同底数幂的运算：乘法法则，底数不变，指数相加；除法法则，底数不变，指 数相减；乘方，底数不变，指数相乘 3、 （2011 常州）已知某几何体的一个视图（如图） ，则此几何体是（ ） A、正三棱柱 B、三棱锥 C、圆锥 D、圆柱 考点：由三视图判断几何体。 专题：作图题。 分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 解答：解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆 锥 故选 C 点评：本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力 4、 （2011 常州）某地区有 8 所高中和 22 所初中要了解该地区中学生的视力情况，下列 抽样方式获得的数据最能反映该地区中学生视力情况的是（ ） A、从该地区随机选取一所中学里的学生 B、从该地区 30 所中学里随机选取 800 名学生 C、从该地区一所高中和一所初中各选取一个年级的学生 D、从该地区的 22 所 初中里随机选取 400 名学生 考点：抽样调查的可靠性。 专题：分类讨论。 分析：抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的 样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现 解答：解：某地区有 8 所高中和 22 所初中要了解该地区中学生的视力情况，A，C，D 中进行抽查是，不具有普遍性，对抽取的对象划定了范围，因而不具有代表性 B、本题中为了了解该地区中学生的视力情况，从该地区 30 所中学里随机选取 800 名学生 就具有代表性 故选 B 点评：本题主要考查抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的， 即各个方面，各个层次的对象都要有所体现 5、 （2011 常州）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围（ ） A、x2 B、x2 C、x2 D、x2 考点：二次根式有意义的条件。 专题：计算题。 分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，即 x20，解不等式求 x 的取值范围 解答：解： 在实数范围内有意义， x20，解得 x2 故选 A 点评：本题考查了二次根式有意义的条件关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非 负数 6、 （2011 常州）如图，在 RtABC 中，ACB=90°，CDAB，垂足为 D若 AC= ，BC=2，则 sinACD 的值为（ ） A、 B、 C、 D、 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。 专题：应用题。 分析：在直角ABC 中，根据勾股定理即可求得 AB，而B=ACD，即可把求 sinACD 转化为求 sinB 解答：在直角ABC 中，根据勾股定理可得： AB= = =3 B+BCD=90°，ACD+BCD=90°， B=ACD sinACD=sinB= = ， 故选 A 点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度 适中 7、 （2011 常州）在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点分别为 A（1，1） 、B（1， 1） 、 C（1，1） 、D（1，1） ，y 轴上有一点 P（0，2） 作点 P 关于点 A 的对称点 P1，作 P1 关 于点 B 的对称点 P2，作点 P2 关于点 C 的对称点 P3，作 P3 关于点 D 的对称点 P4，作点 P4 关于点 A 的对称点 P5，作 P5 关于点 B 的对称点 P6，按如此操作下去，则点 P2011 的坐标 为（ ） A、 （0，2） B、 （2 ，0） C、 （0，2 ） D、 （ 2，0） 考点：坐标与图形变化-对称；正方形的性质。 专题：规律型。 分析：根据正方形的性质以及坐标变化得出对应点的坐标，再利用变化规律得出点 P2011 的 坐标与 P3 坐标相同，即可得出答案 解答：解：作点 P 关于点 A 的对称点 P1，作 P1 关于点 B 的对称点 P2，作点 P2 关于点 C 的对称点 P3，作 P3 关于点 D 的对称点 P4，作点 P4 关于点 A 的对称点 P5，作 P5 关于点 B 的对称点 P6，按如此操作下去， 每变换 4 次一循环， 点 P2011 的坐标为：2011÷4=523， 点 P2011 的坐标与 P3 坐标相同， 点 P2011 的坐标为：（2，0） ， 故选：D 点评：此题主要考查了坐标与图形的变化以及正方形的性质，根据图形的变化得出点 P2011 的坐标与 P3 坐标相同是解决问题的关键 8、 （2011 常州）已知二次函数 ，当自变量 x 取 m 时对应的值大 于 0，当自变量 x 分别取 m1、m+1 时对应的函数值为 y1、y 2，则 y1、y 2 必须满足（ ） A、y 10、y 20 B、y 10、y 20 C、y 10、y 20 D、y 10、y 20 考点：抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征。 专题：计算题。 分析：根据函数的解析式求得函数与 x 轴的交点坐标，利用自变量 x 取 m 时对应的值大于 0，确定 m1、m+1 的位置，进而确定函数值为 y1、y 2 解答：解：令 =0， 解得：x= ， 当自变量 x 取 m 时对应的值大于 0， m ， m1 ，m+1 ， y1 0、 y20 故选 B 点评：本题考查了抛物线与 x 轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得 抛物线与横轴的交点坐标 二、填空题（共 9 小题，每小题 3 分，满分 27 分） 9、 （2011 常州）计算： = ； = ； = 1 ； = 2 考点：负整数指数幂；相反数；绝对值；零指数幂。 专题：计算题。 分析：分别根据绝对值、0 指数幂及负整数指数幂的运算法则进行计算即可 解答：解： = ； = ； =1； =2 故答案为： ， ，1，2 点评：本题考查的是绝对值、0 指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解答 此题的关键 10、 （2003 镇江） （1）计算：（x+1 ） 2= x 2+2x+1 ； （2）分解因式：x 29= （x3） （x+3） 考点：因式分解-提公因式法；完全平方公式。 分析：根据完全平方公式进行计算 解答：解：（x+1 ） 2=x2+2x+1； x29=（x3） （x+3） 点评：本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 11、 （2011 常州）若 的补角为 120°，则= 60° ，sin= 考点：特殊角的三角函数值；余角和补角。 专题：计算题。 分析：根据补角的定义，即可求出 的度数，从而求出 sin 的值 解答：解：根据补角定义，=180° 120°=60°， 于是 sin=sin60°= 故答案为 60°， 点评：此题考查了特殊角的三角函数值和余角和补角的定义，要熟记特殊角的三角函数 值 12、 （2011 常州）已知关于 x 的方程 x2+mx6=0 的一个根为 2，则 m= 1 ，另一个根是 3 考点：一元二次方程的解；根与系数的关系。 专题：方程思想。 分析：根据一元二次方程的解定义，将 x=2 代入关于 x 的方程 x2+mx6=0，然后解关于 m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系 x1+x2= 解出方程的另一个根 解答：解：根据题意，得 4+2m6=0，即 2m2=0， 解得，m=1； 由韦达定理，知 x1+x2=m； 2+x2=1， 解得，x 2=3 故答案是：1、3 点评：本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系在利用根与系数的关系 x1+x2= 、x 1x2= 来计算时，要弄清楚 a、b、c 的意义 13、 （2011 常州）已知扇形的圆心角为 150°，它所对应的弧长 20cm，则此扇形的半径是 24 cm，面积是 240 cm 2 考点：扇形面积的计算；弧长的计算。 分析：根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程，然后根据扇形的面积公式即可求解 解答：解：设扇形的半径是 r，则 =20 解得：r=24 扇形的面积是： ×20×24=240 故答案是：24 和 240 点评：本题主要考查了扇形的面积和弧长，正确理解公式是解题的关键 14、 （2011 常州）某市 2007 年 5 月份某一周的日最高气温（单位：）分别为： 25、28、30、29、31、32、28，这周的日最高气温的平均值是 ，中位数是 29 考点：中位数；算术平均数。 专题：计算题。 分析：先求出各数的和，再除以数据总个数即可得到周日的最高气温平均值将该组数据 按从小到大依次排列，即可得到中间位置的数中位数 解答：解： = = ， 将该组数据按从小到大依次排列得到：25，28，28，29，30，31，32； 处在中间位置的数为 29，故中位数为 29 故答案为 ，29 点评：本题考查了中位数和算术平均数，尤其要注意，将一组数据从小到大依次排列，把 中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数 15、 （2011 常州）如图， DE 是 O 的直径，弦 ABCD，垂足为 C，若 AB=6，CE=1，则 OC= 4 ，CD= 9 考点：垂径定理；勾股定理。 专题：数形结合；方程思想。 分析：连接 OA 构成直角三角形，先根据垂径定理，由 DE 垂直 AB 得到点 C 为 AB 的中 点，由 AB=6 可求出 AC 的长，再设出圆的半径 OA 为 x，表示出 OC，根据勾股定理建立 关于 x 的方程，求出方程的解即可得到 x 的值，即为圆的半径，通过观察图形可知，OC 等于半径减 1，CD 等于半径加 OC，把求出的半径代入即可得到答案 解答： 解：连接 OA， 直径 DEAB，且 AB=6 AC=BC=3， 设圆 O 的半径 OA 的长为 x，则 OE=OD=x CE=1， OC=x1， 在直角三角形 AOC 中，根据勾股定理得： x2（ x1） 2=32，化简得：x 2x2+2x1=9， 即 2x=10， 解得：x=5 所以 OE=5，则 OC=OECE=51=4，CD=OD+OC=9 故答案为：4；9 点评：此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距 所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间 的联系 16、 （2011 常州）已知关于 x 的一次函数 y=kx+4k2（k0） 若其图象经过原点，则 k= ， 若 y 随着 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是 k0 考点：一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式。 分析：（1）若其图象经过原点，则 4k2=0，即可求出 k 的值；（2）若 y 随着 x 的增大而 减小，则一次项系数当 k0 时，图象经过二、四象限 解答：解：（1）当其图象经过原点时： 4k2=0， k= ； （2）当 y 随着 x 的增大而减小时： k0 故答案为：k= ；k0 点评：本题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质、正确的确 定一次函数的一次项系数和常数项 17、把棱长为 4 的正方体分割成 29 个棱长为整数的正方体（且没有剩余） ，其中棱长为 1 的正方体的个数为 24 考点：一元一次方程的应用；截一个几何体。 专题：分类讨论；方程思想。 分析：从三种情况进行分析：（1）只有棱长为 1 的正方体；（2）分成棱长为 3 的正方体 和棱长为 1 的正方体；（3）分成棱长为 2 的正方体和棱长为 1 的正方体 解答：解：棱长为 4 的正方体的体积为 64， 如果只有棱长为 1 的正方体就是 64 个不符合题意排除； 如果有一个 3×3×3 的立方体（体积 27） ，就只能有 1×1×1 的立方体 37 个，37+129，不 符合题意排除； 所以应该是有 2×2×2 和 1×1×1 两种立方体 则设棱长为 1 的有 x 个，则棱长为 2 的有（29x）个， 解方程：x+8×（29x）=64 ， 解得：x=24 所以小明分割的立方体应为：棱长为 1 的 24 个，棱长为 2 的 5 个 故答案为：24 点评：本题考查了一元一次方程组的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考 虑，得到符合题意的可能，再列方程求解 三、解答题（共 18 分） 18、 （2011 常州） 计算： ； 化简： 考点：分式的加减法；立方根；实数的运算；特殊角的三角函数值。 专题：计算题。 分析： 先计算 45 度的正弦值，再将分式化简，计算出立方根，合并同类项可得答案； 先通分，将分子合并同类项以后再约分得到最简值 解答：解：原式= + = +2 =2 原式 = = = = 点评：这两题题考查了分式的加减运算，也涉及特殊的正弦值和立方根的求法，题目比较 容易 19、 （2011 常州） 解分式方程 ； 解不等式组 考点：解分式方程；解一元一次不等式组。 专题：计算题。 分析： 公分母为（ x+2） （ x2） ，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验； 先分别解每一个不等式，再求解集的公共部分，即为不等式组解 解答：解：去分母，得 2（x2）=3（x+2） ， 去括号，得 2x4=3x+6， 移项，得 2x3x=4+6， 解得 x=10， 检验：当 x=10 时， （x+2） （x2）0， 原方程的解为 x=10； 不等式 化为 x26x+18， 解得 x4， 不等式 化为 5x564x+4， 解得 x15， 不等式组的解集为 x15 点评：本题考查了分式方程，不等式组的解法 （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”， 把分式方程转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根解不等式组时，先解 每一个不等式，再求解集的公共部分 四、解答题（共 15 分） 20、 （2011 常州）某中学为了解本校学生对球类运动的爱好情况，采用抽样的方法，从足 球、篮球、排球、其它等四个方面调查了若干名学生，并绘制成“折线统计图”与“扇形统计 图”请你根据图中提供的部分信息解答下列问题： （1）在这次调查活动中，一共调查了 100 名学生； （2） “足球”所在扇形的圆心角是 108 度； （3）补全折线统计图 考点：折线统计图；扇形统计图。 专题：数形结合。 分析：（1）读图可知喜欢乒乓球的有 40 人，占 40%所以一共调查了 40÷40%=100 人； （2）喜欢其他的 10 人，应占 ×100%=10%，喜欢足球的应占统计图的 120%40%10%=30%，所占的圆心角为 360°×30%=108 度； （3）进一步计算出喜欢足球的人数：30%×100=30（人） ，喜欢蓝的人数： 20%×100=20（人） 可作出折线图 解答：解：（1）40÷40%=100（人） （1 分） （2） ×100%=10%， （2 分） 120%40%30%=30%， 360°×30%=108 度 （3 分） （3）喜欢篮球的人数：20%×100=20（人） ， （4 分） 喜欢足球的人数：30%×100=30（人） （5 分） 点评：本题考查学生的读图能力以及频率、频数的计算利用统计图获取信息时，必须认 真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 21、 （2011 常州）甲、乙、两三个布袋都不透明，甲袋中装有 1 个红球和 1 个白球；乙袋 中装有一个红球和 2 个白球；丙袋中装有 2 个白球这些球除颜色外都相同从这 3 个袋 中各随机地取出 1 个球 取出的 3 个球恰好是 2 个红球和 1 个白球的概率是多少？ 取出的 3 个球全是白球的概率是多少？ 考点：列表法与树状图法。 专题：计算题。 分析：（1）此题需要三步完成，所以采用树状图法比较简单，然后树状图分析所有等可能 的出现结果，根据概率公式即可求出该事件的概率； （2）求得取出的 3 个球全是白球的所有情况，然后根据概率公式即可求出该事件的概率 解答：解： （1）画树状图得： 一共有 12 种等可能的结果， 取出的 3 个球恰好是 2 个红球和 1 个白球的有 2 种情况， 取出的 3 个球恰好是 2 个红球和 1 个白球的概率是 = ； （2）取出的 3 个球全是白球的有 4 种情况， 取出的 3 个球全是白球的概率是 = 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数 与总情况数之比 五、解答题（共 12 分） 22、 （2011 常州）已知：如图，在ABC 中，D 为 BC 上的一点， AD 平分EDC，且 E=B，DE=DC，求证：AB=AC 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定。 专题：证明题。 分析：根据在ABC 中，D 为 BC 上的一点，AD 平分EDC ，且 E=B，DE=DC，求证 AEDADC，然后利用等量代换即可求的结论 解答：证明：AD 平分EDC ， ADE=ADC， DE=DC， AEDADC， C=E， E=B C=B， AB=AC 点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定的理解和掌握， 难度不大，属于基础题 23、 （2002 徐州）已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB CD，BC=CD，AD BD，E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是菱形 考点：菱形的判定。 专题：证明题。 分析：由题意易得 DE=BE，再证四边形 BCDE 是平行四边形，即证四边形 BCDE 是菱 形 解答：证明：AD BD， ABD 是 Rt E 是 AB 的中点， BE= AB，DE= AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ， BE=DE， EDB=EBD， CB=CD， CDB=CBD， ABCD， EBD=CDB， EDB=EBD=CDB=CBD， BD=BD， EBDCBD （SAS ） ， BE=BC， CB=CD=BE=DE， 菱形 BCDE （四边相等的四边形是菱形） 点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质 六探究与画图（共 13 分） 24、 （2011 常州）如图，在 ABO 中，已知点 、B （1，1） 、o（0，0） ， 正比例函数 y=x 图象是直线 l，直线 ACx 轴交直线 l 与点 C （1）C 点的坐标为 （ 3，3 ） ； （2）以点 O 为旋转中心，将 ABO 顺时针旋转角 （90°180°） ，使得点 B 落在直线 l 上的对应点为 B，点 A 的对应点为 A，得到AOB = 90° ；画出AOB （3）写出所有满足DOCAOB 的点 D 的坐标 考点：作图-旋转变换；一次函数的性质；相似三角形的判定与性质。 专题：作图题。 分析：（1）直线 ACx 轴交直线 l 于点 C，可知 A、C 两点纵坐标相等，直线 l 解析式为 y=x，可知 C 点横、纵坐标互为相反数，可求 C 点坐标； （2）已知 B（ 1，1）可知 OB 为第三象限角平分线，又直线 l 为二、四象限角平分线，故 旋转角为 90°，依题意画出 AOB即可； （3）根据 A 点坐标可知 OA 与 x 轴正半轴夹角为 60°，可知AOB=165° ，根据对应关系， 则DOC=165° ，故 OD 在第四象限，与 x 轴正半轴夹角为 30°或与 y 轴负半轴夹角为 30°， 根据 A、B、C 三点坐标求 OA、OB、OC，利用 = 求 OD，再确定 D 点坐标 解答：解：（1）直线 ACx 轴交直线 l 于点 C， C 两点纵坐标为 3，代入直线 y=x 中，得 C 点横坐标为3， C（ 3，3） ； （2）由 B（1 ，1）可知，OB 为第三象限角平分线， 又直线 l 为二、四象限角平分线， 旋转角为=BOB=90° ，AOB如图所示； （3）D 点坐标为（9，3 ） ， （3 ，9） 点评：本题考查了旋转变换的作图，一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质关 键是根据点的坐标，直线解析式的特点求相关线段的长，角的度数，利用形数结合求解 25、 （2011 常州）已知：如图 1，图形 满足 AD=AB，MD=MB，A=72°，M=144°图 形与图形 恰好拼成一个菱形（如图 2） 记 AB 的长度为 a，BM 的长度为 b （1）图形 中 B= 72 °，图形中 E= 36 °； （2）小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形相同，这种纸片称 为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形相同，这种纸片称为“飞镖一号” 小明仅用 “风筝一号”纸片拼成一个边长为 b 的正十边形，需要这种纸片 5 张； 小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号” 纸片拼成一个“大风筝” （如图 3） ，其中 P=72°， Q=144°，且 PI=PJ=a+b，IQ=JQ请你在图 3 中画出拼接线并保留画图痕 迹 （本题中均为无重叠、无缝隙拼接） 考点：菱形的性质；正多边形和圆；作图应用与设计作图。 专题：操作型。 分析：（1）连接 AM，根据三角形 ADM 和三角形 ABM 的三边对应相等，得到两三角形 全等，根据全等三角形的对应角相等得到角 B 和角 D 相等，根据四边形的内角和为 360°， 由角 DAB 和角 DMB 的度数，即可求出角 B 的度数；根据菱形的对边平行，得到 AB 与 DC 平行，得到同旁内角互补，即角 A 加角 ADB 加角 MDC 等于 180°，由角 A 和角 ADB 的度数即可求出角 FEC 的度数； （2） 由题意可知， “风筝一号”纸片中的点 A 与正十边形的中心重合，由角 DAB 为 72°， 根据周角为 360°，利用 360°除以 72°即可得到需要“风筝一号 ”纸片的张数； 以 P 为圆心，a 长为半径画弧，与 PI 和 PJ 分别交于两点，然后以两交点为圆心，以 b 长为半径在角 IPJ 的内部画弧，两弧交于一点，连接这点与点 Q，画出满足题意的拼接 线 解答：解：（1）连接 AM，如图所示： AD=AB，DM=BM，AM 为公共边， ADMABM， D=B， 又因为四边形 ABMD 的内角和等于 360°， DAB=72°，DMB=144°， B= =72°； 在图 2 中，因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ABCD， A+ADC=A+ADM+CEF=180°，A=72°，ADM=72°， CEF=180°72°72°=36°； （2） 用“风筝一号”纸片拼成一个边长为 b 的正十边形， 得到“风筝一号” 纸片的点 A 与正十边形的中心重合，又A=72°， 则需要这种纸片的数量= =5； 根据题意可知：“风筝一号”纸片用两张和“飞镖一号” 纸片用一张， 画出拼接线如图所示： 故答案为：（1）72°；36° ；（ 2） 、5 点评：此题考查掌握菱形的性质，灵活运用两三角形的全等得到对应的角相等，掌握密铺 地面的秘诀，锻炼学生的动手操作能力，培养学生的发散思维，是一道中档题 七、解答题（共 3 小题，共 26 分） 26、 （2011 常州）某商店以 6 元/千克的价格购进某种干果 1140 千克，并对其进行筛选分 成甲级干果与乙级干果后同时开始销售这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出： 甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售 至销售的第 x 天的总销量 y1（千克）与 x 的关系为 y1=x2+40x；乙级干果从开始销售至销 售的第 t 天的总销量 y2（千克）与 t 的关系为 y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的 情况见下表： t 1 2 3 y2 21 44 69 （1）求 a、b 的值； （2）若甲级干果与乙级干果分别以 8 元/千克的 6 元/ 千克的零售价出售，则卖完这批干果 获得的毛利润是多少元？ （3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克？ （说明：毛利润=销售总金额进货总金额这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计） 考点：一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用。 专题：销售问题。 分析：（1）根据表中的数据代入后，y 2=at2+bt，得到关于 a，b 的二元一次方程，从而可 求出解 （2）设干果用 n 天卖完，根据两个关系式和干果共有 1140 千克可列方程求解然后用售 价进价，得到利润 （3）设第 m 天乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克，从而可列出不 等式求解 解答：解：（1）根据表中的数据可得 （2）甲级干果和乙级干果 n 天售完这批货 n2+4n+n2+20n=1140 n=19， 当 n=19 时，y 1=399，y 2=741， 毛利润=399×8+741×6 1140×6=798（元） （3）设第 m 天甲级干果的销售量为 2m+19 （2m+19）（2m+41）6 n7 第 7 天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克 点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据表格代入数列出二元一次方程方程组求出 a 和 b，确定函数式，然后根据等量关系和不等量关系分别列方程和不等式求解 27、 （2011 常州）在平面直角坐标系 XOY 中，一次函数 的图象是直线 l1，l 1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点直线 l2 过点 C（a，0）且与直线 l1 垂直，其中 a0点 P、Q 同时从 A 点出发，其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位；点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位 （1）写出 A 点的坐标和 AB 的长； （2）当点 P、Q 运动了多少秒时，以点 Q 为圆心，PQ 为半径的 Q 与直线 l2、y 轴都相 切，求此时 a 的值 考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质。 专题：几何动点问题；分类讨论。 分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可； （2）根据相似三角形的判定得出APQ AOB，以及当Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时， 当 Q 在 y 轴的左侧与 y 轴相切时，分别分析得出答案 解答：解：（1）一次函数 的图象是直线 l1，l 1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点， y=0 时，x= 4， A（ 4， 0） ，AO=4， 图象与 y 轴交点坐标为：（0，3） ，BO=3， AB=5； （2）由题意得：AP=4t，AQ=5t， = =t， 又PAQ= OAB， APQAOB， APQ=AOB=90°， 点 P 在 l1 上， Q 在运动过程中保持与 l1 相切， 当Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时，设 l2 与Q 相切于 F，由APQAOB ，得： ， PQ=6； 连接 QF，则 QF=PQ，由QFC APQAOB， 得： ， ， ， QC= ， a=OQ+QC= ， 当Q 在 y 轴的左侧与 y 轴相切时，设 l2 与Q 相切于 E，由APQ AOB 得： = ， PQ= ， 连接 QE，则 QE=PQ，由QEC APQAOB 得： = ， ， = ， QC= ，a=QC OQ= ， a 的值为 和 ， 点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析 注意分类讨论才能得出正确答案 28、 （2011 常州）在平面直角坐标系 XOY 中，直线 l1 过点 A（1，0）且与 y 轴平行，直 线 l2 过点 B（0，2）且与 x 轴平行，直线 l1 与直线 l2 相交于点 P点 E 为直线 l2 上一点， 反比例函数 （k0）的图象过点 E 与直线 l1 相交于点 F （1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值； （2）连接 OE、OF、EF若 k2，且OEF 的面积为 PEF 的面积的 2 倍，求 E 点的坐标； （3）是否存在点 E 及 y 轴上的点 M，使得以点 M、E、F 为顶点的三角形与PEF 全等？ 若存在，求 E 点坐标；若不存在，请说明理由 考点：相似三角形的判定与性质；反比例函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定 理。 专题：分类讨论。 分析：（1）根据反比例函数中 k=xy 进行解答即可； （2）当 k2 时，点 E、F 分别在 P 点的右侧和上方，过 E 作 x 轴的垂线 EC，垂足为 C，