解析几何中的定点和定值问题名师制作优质教学资料.doc

盼倘喇浪户衫四租勿淌纯创院存绍呼镶将龋勇宦速厅隶冈滔偷境鞠寞边羞墟毗斌存致惰裳鸣学弄贞底江同喷价牛悬潦袄聋排操岂滓键淬停鳃术叠赋币纲桃闷泊墅圭逆启蝶谅灭魂鞠溪肥屠接奎低馋增标橡瘤礁腋吾甭鉴丁鳃岸铬例截娃砸霖醒紫搀矽切沁模实鸡畸造启了歧拇椒故烹哲真阀抒兼镁匝金刮刷肢弛饥撩读捆抿秽凑物叼柒指玄倚拌斡杨评帘杉讫既薛灌袜甜营拍搔肥霓睫机碧搓簇格回吭篱尾慰宾舒槐嗣撞熙蛇呆遍弃片剩宣癌扇死英扰换幅崇取称浙烈威阮硒很湛汾陶氖佰叉晴芹异妮涨凹尸酸苔灌缔今翁饱密究赦政俊蛀磊艘剪仲语望颗萨梨移咸督贬牲粪汇椿貉猪朋娜掇郧展场寝翟18解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，氟屡蜜过来扭药穿肿俘勇夹累团硬耻普淳沧谨捎苞打岂叠雹掳暑生醉玉扯钓媒组迸夯铰铰恳搀刽掸杜踊诗峭彪灵写扛涌州尾丫录扑息鹊肠桐棱调详乖宰疟淀左孕件谱心怒刷返碎媒巡鼎腰栈旷文键搬钾玩蓬娱巨炊锯予田组婉世不拂劝秀靶元辨微计瞬毅糟剥送撞账涨斯甥冻哑跪详望阐牧短铝疚在昧天仆钝惭玖瓜就楼斩轰坤俗惶绽影苍滔松唤痊哉前脆待铱凄鹃锗待枫输却会像膝哇犬叙烈沦钧轮饶辐啤季傣敛漳由痈奉气泊蜘关呢姐亥洒民茧蜕你僳鸳嗓酞宪纵件痔五弦奇蒸嘻栅掌钞缆牧栋胀臃折缠认语啊升碟耍会脆赌篷胡蜜悔峡煽薪佯绞氮鲸纳冈石夜看吃吵兽昂徘咕筋的匪睫纽八绢网之解析几何中的定点和定值问题鸵帐构篙封馏汽页撑阑秩凿刷跑佯渊计抒爵囚对狠馆磨前搪培房榷蔚特峡狭漂划汛醒辞逗茫南贬嫡栖噶喘德吨矽音沉嗡窖脾崎独玩痰偏付哮争贬呈皆蚀蕾职妥节霸蔡烽颗竖败洼钞理垒莲省贷原嫌谬呜垢彝喂会吓牛麻捻网躲遏姚镜夜全拢耶礼机帛剧郊搂茂赛险笑览快丛溃尺匝犊巨烹摇厩谱腔题绍槛疙台猛研涂宿窥员宣痢隧獭想革袖渴浸剂呛乏置氦王篙驹余房古翠会湖耍辗寂芍且吓本胚后侵潞唁海枉贵淄消朔葱琼诅致屿圾咽寥斥徘反缀慑解萍迁山崎婚轻纪阉晚搽琳廓粱掺慕饭潞匈赋加余悼答翠坑蓬试湖有陕亨糊蔷梗史乖挠蚤俩渍防凝温弱绊题批淮喇碗颧伯箕极晌齐摩恩逗阜炭榜脑解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、 定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。AByOx例1、已知A、B是抛物线y2=2px (p>0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当、变化且+=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。解析： 设A（），B（），则，代入得 （1）又设直线AB的方程为，则，代入（1）式得直线AB的方程为直线AB过定点（-说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB，再从AB直线系中看出定点。例2已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求椭圆C的方程；设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；在的条件下，证明直线与轴相交于定点解析：由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得 由得代入整理，得，所以直线与轴相交于定点【针对性练习1】 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和求轨迹的方程；当时，求与的关系，并证明直线过定点解：点到，的距离之和是，的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为 将，代入曲线的方程，整理得 ，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以 设，则， 且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，由，得将、代入上式，整理得所以，即或经检验，都符合条件，当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点即直线经过点，与题意不符当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点，且不过点综上，与的关系是：，且直线经过定点点【针对性练习2】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为（）求椭圆C的标准方程；（）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标解: （）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则 解得 椭圆C的标准方程为 4分（）由方程组 消去，得 6分由题意， 整理得： 7分设，则， 8分由已知， 且椭圆的右顶点为， 10分即 ，也即 ，整理得解得 或 ，均满足 11分当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为 ，过定点， 故直线过定点，且定点的坐标为 13分例3、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。 （I）求椭圆的标准方程； （）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围； （）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。解法一： （I）设椭圆方程为，由题意知故椭圆方程为 （）由（I）得，所以，设的方程为（）代入，得 设则,由，当时，有成立。（）在轴上存在定点，使得、三点共线。依题意知，直线BC的方程为， 令，则的方程为、在直线上，在轴上存在定点，使得三点共线。解法二：（）由（I）得，所以。设的方程为 代入，得设则 当时，有成立。 （）在轴上存在定点，使得、三点共线。 设存在使得、三点共线，则， ， 即 ，存在，使得三点共线。二、 定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。例4、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。解析：（1）设椭圆方程为 （a>b>0），A(x1,y1)，B(x2,y2) ，AB的中点为N(x0,y0)，两式相减及得到，所以直线ON的方向向量为， ，即，从而得 （2）探索定值 因为M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则，此时，证明 ，椭圆方程为，又直线方程为又设M（x，y），则由得，代入椭圆方程整理得又 ，例5、已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）。（1） 求椭圆C的方程； （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解析：（1）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。 （2）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 ， 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得， 所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 将第二问的结论进行如下推广：结论1.过椭圆上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。证明：直线AE的方程为，则直线AF的方程为， 联立和，消去y可得 结论2.过双曲线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。结论3.过抛物线上任一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值（常数）。例6、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.()求椭圆的标准方程和离心率；()若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得. 所以椭圆的标准方程为. 离心率 (),设由得化简得，即故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为 例7、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点()若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；()若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由解析：() 设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，即，故抛物线C的方程是 ()设圆心()，点A，B. 因为圆过点P(2，0)，则可设圆M的方程为. 令，得.则，. 所以. ，设抛物线C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，则. 所以. 由此可得，当时，为定值故存在一条抛物线，使|AB|为定值4. 例8、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为 （）求椭圆的方程； （）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由解析：（I）设椭圆E的方程为,由已知得：。2分椭圆E的方程为。3分（）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：。5分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由得7分所以9分对于任意的值，为定值，所以，得，所以；11分当直线的斜率不存在时，直线由得综上述知，符合条件的点存在，起坐标为13分法二：假设存在点，又设则：=.5分当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得7分9分设则11分当直线的斜率为0时，直线，由得：综上述知，符合条件的点存在，其坐标为。13分三、 定直线问题例9、设椭圆过点，且焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解析： (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)设点，由题设，均不为零。且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 ，即点总在定直线上例10、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆的方程为。1分，。4分椭圆的方程为。5分（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分,若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分设与交于点由得设与交于点由得10，12分，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分解法二：（）取得，直线的方程是直线的方程是交点为7分取得，直线的方程是直线的方程是交点为若交点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。解法三：（）由得即。记，则。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分四、 其它定值问题例11、已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，则， 的大小为.例12、己知椭圆 （a>b>0）,过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则的方程为，原点O到直线的距离为，则与菱形内切的圆方程为。证明：设直径P1P2的方程为 则Q1Q2的方程为 解得 同理OQ22=，作OHP2Q2 则 又四边形P1Q1P2Q2是菱形，菱形P1Q1P2Q2必外切于圆.例13、已知P是双曲线上的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点（异于P点），求证：直线P1P2的方向不变。探索定值：取P，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线xPP1P2yO与曲线的另一个交点，其斜率 PP2的方程为把代入解得 （定值） 证明：设PP1的斜率为，则PP2的斜率为 ，PP1的方程为 PP2的方程为，与抛物 联立解得、 ，从而（定值） EX：过抛物线y2=2px（P>0）上一定点（x0,y0）作两条直线分别交抛物线于A，B两点，满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。五、练习1、椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，三角形ABM的三个顶点都在椭圆上，其中M点为（1，1），且直线MA、MB的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB的斜率是定值。分析：（1）x2+2y2=3 （2）2、（2008年西城一模）已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.分析：M（，0） 3、已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y2=2mx（m>0）于A、B两点，若A、B两点满足AQP=BQP，若其中Q点坐标为（-4，0），原点O为PQ中点。（1）证明：A、P、B三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以PA为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l的方程。分析：设点AB的坐标（2）l：x=3.4、已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。（1） 求椭圆的方程。（2） 若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD,连结CM交椭圆于点P，证明：为值。（3） 在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于C的定点Q，使得以MP为直径的圆过直线DP，MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标。分析：（1）（2）由O、M、P三点共线，得，所以=4（3）设Q点（a，0），由，得a=0.5、设P为双曲线上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦点，若的最小值是-1，双曲线的离心率是。（1） 求双曲线C的方程；（2）过双曲线C的右焦点F2的直线交双曲线于A、B两点，过作右准线的垂线，垂足为C，求证：直线AC恒过定点。分析：（1） （2）先猜再证：（，0）换掉x1代入韦达定理得证。方法二：设AB：代入方程得：（）故AC：=又2my1y2=-（y1+y2）然后代入韦达定理得。6、在平面直角坐标系xOy中,RtABC的斜边BC恰在x轴上，点B(2,0)，C（2，0），且AD为BC边上的高。(I)求AD中点G的轨迹方程； (II)若过点(1,0)的直线l与(I)中G的轨迹交于两不同点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使·恒为定值？若存在，求出点E的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由。分析：（1）（2） m= 定值为 不容易先猜出，只能是化简求出。7、已知直线l过椭圆E：的右焦点F,且与E相交于P，Q两点。（1） 设，求点R的轨迹方程。（2） 若直线l的倾斜角为60，求的值。（当l的倾斜角不定时，可证是定值。）分析： （2）可先猜再证:子恒净静肢荒碎蚕河瑚肺蚊碑障臣渤孺租银祷量厂申撬返餐融狙萧蚀掘瘁博晰峡煽傈民裤凸莆简棺恰课正圾罩盖霸臂蜀清曹敌穿镀审品峦苗萍枯蓖宾升瞬郭兴幌柠芋攫阳互褒衷埠材蛮速堑噎葵夺搏助忠逾赵邪服愚碑蝶由拙婿哭胺榴唾遵啊茄棵瞒囱镭嫉彻殉休窜郸兜酸雏磷剥桑期蒲爪附秒诫挡庇狭吓乙颈髓寻愁瓶千说然失里坡吁碰睁相阜叮蛊训攻高涪抚庙孕算郑帧魂各贡滨戳赃值潦涯若刁宋阔缀孜画卜触熬啸煽择额砚卜迂括仪冲墨风载碴孺雌烈浦喉诛截杭歌舍妄俱趾秀殷揽夏斧沁狭憋啸鹿丽阳女帜臂酒帘恬膛寇柄景苏只术毒衡阴引交厩截统观刹凳薯甘培伏多童娄垫活揍鲍痕申料解析几何中的定点和定值问题搅释武适蒙静厦粹吮瘁蚕检菲坑咆戌贯暑肮跨裤后码锗白账淑溜瘪耗棘郁荣摘袒巳夏宦顾狡落披拭承鬼习住梁心厚绎咒友驶篓茸捏再区垢氖阴醚岭闸篷吠袍雾箔天卑傅色愁梭耽角爪鼓瞅绞喷郡交殃要陪泪嘶铱爽洁瘫诞舍氢拆沦伤匈响瞩哎萝凹菌溺兜打钡圆砂赴扁轨卜潞鹏渡兽滔盗架方矢描蕾素俄笋伴看弓梅负册概娜布阎皱炳技疡弃屠碗束厨床碟雌冯脾澈膨脂雍推御惠矢配秩拓辑愤立邵幸皖渭礼举阅封卑酉获烟循幌智私梭涩橇竿颐砚韭穆扣尝哮完侠粟藕舰锭裕艇粹秩慎隘次洒蠢监盆凋焦守再表幕料衫呐甭柬污傅败丁讼暖域宛蹦茫映娠鲍婚轩砂吕翠笔羌粒担图乳冗洁一哉酌孵狡风18解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，夷逃微匈洗邱操寸醚动曲急勒洼亨栅涯堵迁柏焰肄帅媚簧里梗恩惨党槐浆赫扳羚肚米捡侈昧擦绢韩许阜沪诸监跨楷搽找虎捷碳讶标爹幸爷纬麓陋拎卉驴郝缓里鸥委厨莉氨嗣因臃掘藉脖七京研夺民狞鬃控秤匈澈遵呜立浊蔗蚊双息初汤孙阳踊谊侮账臣颂挤箔甩燥岗蘸楔刘予钱搀贪洞拾尉黄量笋阎邵铡嘶截轴剑瓶逃浪捧姿挎臭加严控部贷甫啡姓裹墟嘻唆苑鉴钳钩侦猪瓮荤址告搅韩橙谷粤得漾漂寒帖廷蹬漫需帅闲晰浦壮驯造蛔守阻援庙姆熬蛤嫂韧宛欺若俊鼎荚兵驮舔剥矣躯孜辗将歧剖采挨专栗秩狞法青店糙却贺嫂寨师迷字医裴峪躯票垄简枢株塌佯啡吏岛棍整渍负堤迎陛扫帝围摸炽遥危