二次曲面习题课PPT课件.ppt
1,解析几何习题课(二),2,Chap. 4 二次曲面(quadric surfaces),空间解析几何的两个基本问题： 一、给定曲面，建立方程； 二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。,3,1、柱面 (cylinder),定义：一直线L沿一已知曲线C平行移动而得的曲面称为 柱面。 C 准线 (directrix ) ， L 母线(ruling ),直柱面：,4,射影柱面,射影柱面,柱面的参数方程(parametric equation)（P147 ex4）,5,圆锥面 直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面. O 顶点 (vertex) 两直线的夹角 半顶角 锥面 一直线通过定点O，且沿空间中一条定曲线C 移动所产生的曲面称为锥面. O 顶点 C 准线（不唯一 ） 动直线 母线（不唯一 ）,2、锥 面 (conical surface),6,锥面的参数方程（P152 ex6）,7,3、旋转曲面 (surface of revolution),定义：曲线C绕定直线l旋转一周所生成的曲面称为旋转 曲面。 l 旋转轴 ， C 母线,旋转曲面的参数方程（P158 ex3）,8,4、椭 球 面 (ellipsoid),（1）椭球面的方程,（2）椭球面的性质,（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。,9,（3）形状（与三个坐标面的交线）：,是一个椭圆 (ellipse),(2) 是一个椭圆,(3) 是一个椭圆,10,（4）椭球面的参数方程,（广义球坐标系）,11,5、双曲面 (hyperboloid),I 单叶双曲面 (hyperboloid of one sheet),方程：,性质：,（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。,（2）有四个顶点,（3）形状：,（1） 是一个椭圆 （腰椭圆）,12,（2） 是双曲线 (hyperbola),（3） 是双曲线,（4） 是一个椭圆,13,II双叶双曲面 (hyperboloid of two sheets),方程：,性质：,（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。,（2）有两个顶点,（3）形状：,（6） 是双曲线,（7） 是双曲线,14, 参数方程 (P168 ex.7),(1) 单叶双曲面,(2) 双叶双曲面,15,6、抛 物 面 (paraboloid),I椭圆抛物面(elliptic paraboloid),方程：,性质：,（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面， 对称于z轴，无对称中心。,（2）与对称轴交于原点（0，0，0）， 叫做椭圆抛物面的顶点。,16,（3）形状：,（1） 是抛物线 (parabola),（2） 是抛物线,主抛物线,（3） 是一个椭圆,容易知道图形（3）的两对顶点分别在主抛物线（1）与（2）上。,17,（4） 是抛物线,18,II双曲抛物面 (hyperbolic paraboloid),方程：,性质：,（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面， 对称于z轴，无对称中心。,（2）形状：,（5）,是一对相交于原点的直线,19,（6）是抛物线,（7）是抛物线,主抛物线,（8）是双曲线(hyperbola),（9） 是抛物线,20,、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线,定义：由一族直线生成的曲面称为直纹面(ruled surface) 这族直线称为曲面的一族直母线。,21,、单叶双曲面,u 族直母线,v 族直母线,对于单叶双曲面上的每个点，两族直母线中各有一条 直母线经过该点,22,、双曲抛物面,对于双曲抛物面上的每个点，两族直母线中 各有一条直母线经过该点,直母线：,23,定理单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面， 而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交。,定理单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线 总是异面直线，而且双曲抛物面上同族的全体直 母线平行于同一平面。,24,例 题,25,例1. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,26,例 2. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,27,例3. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,28,例 4、求准线是 ，母线方向为 的柱面方程。,解：准线可改写为,所求柱面方程为,消去参数 u, v 得,29,例 5、求半径为2，对称轴为 的圆柱面方程。,解：在所求圆柱面上任取一点 ，,由,得,30,例 6、求准线是 ，顶点为原点的锥面方程。,解：准线方程为,所求锥面方程为,消去参数 u, v 得,31,例7、由椭球面 的中心，引三条两两 互相垂直的射线，分别交曲面于 ，设 ，试证：,（课本P162, ex4）,解：设 的单位向量分别为,P1的坐标为 ，代入椭球面方程，得,32,同理可得,由于 两两垂直，知 是正交的矩阵，,于是有,所以,33,例 8、试求单叶双曲面 上互相垂直的两 直母线交点的轨迹方程。,（课本P182, ex8）,解：过单叶双曲面上所求轨迹上一点 的两条直母线分别为L1和L2,当 时，,当 时，,34,L1和L2的方向向量分别为,当 时，,当 时，,35,由 垂直，得,分别在 和 的情况下，计算上式各项，再整理得所求轨迹均为,36,例9. 将下列曲线化为参数方程表示:,解: (1),根据第一方程引入参数 ,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,37,绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为,消去 t 和 , 得旋转曲面方程为,例10. 求空间曲线 :,38,例11. 直线,绕 z 轴旋转一周, 求此旋转,转曲面的方程.,解:,在 L 上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,39,例12 求,在xoy 面上的投影曲线方程。,40,例13 求,所围的立体在 xoy 面上的投影区域。,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,41,例14,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,42,作 图 练 习,43,(2),(1),1、画图:,44,(3),45,(4),46,思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,(5),47,例2、 画出下列各曲面所围图形:,48,49,50,1,.,解,得交线L：,由,51,.,1,解,L,得交线L：,.,投影柱面,由,2,52,a,a,作图练习,53,a,a,作图练习,.,54,a,a,学画草图,.,a,作图练习,个人观点供参考，欢迎讨论,
