第六节--旋转曲面和二次曲面PPT课件.ppt

1,定义2. 一条平面曲线,一、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,二、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,1. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3) 截痕:,为正数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,2. 抛物面,(1) 椭圆抛物面,( p , q 同号),(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,( p , q 同号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,3. 双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,双曲线:,11,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平行于z 轴;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相交直线:,双曲线:,12,(2) 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18 目录 上页 下页 返回 结束,图形,13,4. 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到, 见书 P316 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,5.柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,2. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的 圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1. 指出下列方程的图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,个人观点供参考，欢迎讨论,