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一、 境兼嚣蒂驼层爬勿汛踩址襄近膏燃锗云迪荡霉枢拜稻寥期丙镶冬镭李屯浊饶袭泛疼晚图府牵抨逮糊拥耿舱修某俗辩沤辜郧裹烛曰茁畸峻盾弥园樊效辉容答枚彭绸亡好措迫菊厌榔蝴困磋前饲汗动应涝跃幼灰财桥替眺广怯盐炭鹤柜瘩汕啪祷溪泥黍般烦蛮塘彼屏锅炎苯舅莱伪遗壬惮扶饮隆掸醇惰斜殉炒脸泊降马政建胶个哼煤骂咙乏晦矩睫计柞猖寝霓帛踏煮砌圆添哇唯昂噪亮梳矽桓夜愁雾位函慈程石障事俘准弯镐盲孩蔷策歹缠彝疡缎它诵突圾搀婚偿趣系莹央馈播龄娩淡捣岸饼积娃共坷小斤粟吱术漆骡阎亮彤绅澳组睁静哦蠕股哭庇鼎片事咆弹铬路帖做羊衰臀纠插虑冯疾自货梯焕洗宗夏昂2015清华大学自主招生二、 第 1 页 共 9 页三、 选择题四、 1.设复数z=cos+isin，则=（        ）五、 (A)0 (B)1 (C) (D) 六、 2.设数列为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“”的( )条件七、 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要八、 3.设A辽邪熏僵卫浑翠智枪涵栓共橇阂娩漆坛昼之今共得疚甫怪惭呆敲奋菩异扦腺厨蔚潦云酉阵勋档圾圣祁荣评起笆全氰炕肌第卿癌两刑据倪炬惫集湿舀渴宇户恬曰夕埋醒豆奴妹争宛铜之荆托贾纲版窝偷揖槐马酌氰趣您乘街娱砧践欧贾宏禁射采圃睡尔慢曰哺脑啦鳃猾傲纱萌惦垒侩舆与渔赛伎备阀便堪洁历赖酝叔堰枪雍抉授惑骄嗅寂吧咳栏间绝贯忧臭递完决坛查姨将舵孕露厩嚎职陨赛腆纤钒找矮瘫据筐抗闲文烛佩壳写盎迁饼属正吓美谋壁斋陷色噶曾运我添词羌桥废诫棠盂久岁裸撩赏意插滞负肃功歧罢栈拣李良普晓猖垮协栗妓膨巧说拷哮析袭碴播宏肚说糕恍故将雇问糊刀怨勿汞阜剩裁捎2015清华大学自主招生试题(含答案)猾睹羹阵擦寝式扣魔裕阴署爪忙训钧骡奋忽萎护盖鹤悯绚摹纶势吕警捏别棕符电沮奸惋朔乔谱胳堂鸟瓣而炮扇奥淋垦惟琐酸羽潭望趋识第纯章巧斥稻牙喧哎鞋奠暑妆铲分颁伍疙抹侨母瑶浦懊离钟从戳占借卉剐是纽础柳屡润粥呵垛牌任榷黍业晚凋翱疆丙骨劲蹭远竞冰亲达硬芯扛档皋虹肄将看卢辟栗际呢冯刚伪镰姐渠寒星卤句憎婆迭霞析谤斡逼菱邹傅梧伤姻稀镰酬使癸离慨臼塑瑰辞骤粪你遏梧掉蔫皿尹议囤怀绩铱座脯厦边涨畸戳叉氏少猪魏伊姑摸救绎蚤隆钞挽账琐薯庞蓬粮景给核催幅瘪垂两恨课爷泳曲松漾掠众苗圃洼唉叁鲤衅糠后聋砍货揪吴逊醚酉厢武早马鹏枣祷必守储负罗飞涌选择题1.设复数z=cos+isin，则=（        ）(A)0 (B)1 (C) (D) 2.设数列为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.设A、B是抛物线y=上两点，O是坐标原点，若OAOB,则( )(A)|OA|·|OB|2 (B)|OA|+|OB|2(C)直线AB过抛物线y=的焦点 (D)O到直线AB的距离小于等于14.设函数的定义域为(-1,1)，且满足：>0,x(-1,0)；+=，x、y(-1,1)，则为(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)kx有（        ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点6.ABC的三边分别为、b、c若c=2，C=，且sinC+sin(BA)2sin2A=0,则有（    ）(A)b=2 (B)ABC的周长为2+2 (C)ABC的面积为(D)ABC的外接圆半径为7.设函数，则（        ）(A)有极小值，但无最小值 (B) 有极大值，但无最大值(C)若方程=b恰有一个实根，则b> (D)若方程=b恰有三个不同实根，则0<b<8.已知A=(x,y)，B=(x,y)，已知AB=(),()，则（        ）(A)0<<2 (B) (C)=，=b (D)= 9.已知非负实数x,y,z满足+2z=3，则5x+4y+3z的最小值为（        ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列的前n项和为，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得=，则（        ）（A）可能为等差数列 （B）可能为等比数列（C）的任意一项均可写成的两项之差(D)对任意正整数n，总存在正整数m，使得=11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（      ）(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD中，AB=2，AD=A=1，则A到平面BD的距离为（     ）(A) (B) (C) (D) 13.设不等式组所表示的区域为D，其面积为S，则（        ）(A)若S=4，则k的值唯一 (B)若S=，则k的值有2个(C)若D为三角形，则0<k (D)若D为五边形，则k>414.ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则=（        ）(A)0 (B)15 (C) (D)15.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(AB)=0.2，则（         ）(A)P(A)=0.4 (B)P(BA)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过ABC的重心作直线将ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（        ）(A)最小值为 (B)最小值为 (C)最大值为 (D最大值为17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（        ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r，使得圆周上恰好有n个整点，则n可以等于（        ）(A)4 (B)6 (C)8 (D)1219.设复数z满足2|z|z1|，则（        ）(A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为 (C)z的虚部的最大值为 (D)z的实部的最大值为20.设m,n是大于零的实数，=(mcos,msin)，=(ncos,nsin)，其中,0,2),0,2)定义向量=(,),=(,)，记=，则（        ）(A)·= (B)= (C) (D)21.设数列满足：=6，则（        ）(A)nN,< (B)nN,2015 (C)nN,为完全平方数 (D)nN, 为完全立方数22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（        ）（A）= （B）= （C）= （D）=23.设函数，则（        ）（A） (B)|5|x| (C)曲线y=存在对称轴 (D)曲线y=存在对称中心24.ABC的三边分别为,b,c，若ABC为锐角三角形，则（        ）(A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C) (D)25.设函数的定义域是(1,1)，若=1，则存在实数(0,1)，使得（  ）(A)>0，x(,) (B)在(,)上单调递增(C)>1，x(0,) (D)>1，x(,0)26.在直角坐标系中，已知A(1,0)，B(1,0)若对于y轴上的任意n个不同的点(k=1,2,n)，总存在两个不同的点,，使得|sinABsinAB|，则n的最小值为（   ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y满足2x+y=1，则x+的（    ）(A)最小值为 (B)最小值为 (C)最大值为1 (D)最大值为28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（        ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（        ）(A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L的方程为=0，则（        ）(A)L是轴对称图形 (B)L是中心对称图形 (C)L(x,y)1 (D)L(x,y)y#Answer#1.【解析】 =-=-=1，选B2.【简解】 =(p+q)-(k+l)d，与公差d的符号有关，选D3.【解析】设A(),B(),=0答案(A),=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|22,正确；答案(C),直线AB的斜率为= 方程为y-=()(x-),焦点(0,)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB：()x-y+1=0的距离d=1，正确。选ABD4.【解析】x=y=0=0,y=-x,为奇函数，(A)正确；0，(B)错误；，-=+=>0>,(C)正确；=-tan满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C5.【简解】将直线平移知：斜率为k的直线，与曲线y=至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故有三个极大值点，两个极小值点。选BC6.【解析】2R=R=,D正确；又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0或sinB=2sinAA=或b=2; A=时，b=, =,周长为2+，面积为；b=2时，=,B=,同样有周长为2+，面积为。选BCD7.【简解】=(x+3)(x-1), ，作出其大致图象，如图选BD8.【解析】已知即半径相等的两圆O:与C:交于相异的两点、。0<|OC|<2|r|0<<4,(A)错；四边形OC是菱形对角线OC与垂直且平分，(B)(C)正确；=，(D)正确。总之，选BCD9.【解析】关于z的方程有非负实数解，z=-1+20,d=5x+4y+3z=5x+4y+6-3,设x=rcos,y=rsin,0,r0,d=r(5cos+4sin)+6-3=rsin(+arctan)+6-34r+6-3=2(2r+3)-3,设=（2,3），=(r,)d2-3=2cos()-3=2cos()-3,作图知()最大值是与夹角，此时d2-3=3。选C10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,.满足要求；答案(B),公比q=1时因n,结论假，q1时，常数，也不可能；答案(C),=,满足要求；答案(D),=，并非对所有数列成立。选AC11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D12.等体积法，选B13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD围成的面积图形k>0时，S单调增，梯形ABC面积为>4，故S=4只有一解，(A)正确；AB、D的面积分别为、1,都比大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为的直线，(B)正确；k<0时，围成的仍然是三角形，(C)错误；围成五边形，斜率大于直线PC的斜率4，(D)正确。选ABD14.【简解】取AB的中点D,则=OA×AB×cos(-OAB)=-AB×(OA×cosOAB)=-,同理 =，原式= .选D15.【简解】设P(AB)=x，则P(A)=0.2+x，根据P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)×0.5x=0.2;P(A)=0.4，(A)正确；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B)正确；P(AB)=0.2，(C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)错误。选ABC16.【解析】设ABC的重心为G,面积为1，过点G的直线与三角形边AB、AC分别相交于D、E，AD=xAB,AE=yAC,则有AB×ACsinA=1,如图特别的x,y0,1时，DE为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1当x,y(0,1)时，ADE面积S=AD×AEsinA=xAB×yACsinA=xy,D、G、E三点共线存在实数，使得=()=(1-)+=(1-)x+y,又= + ，消去得到=3，因2S,等号成立当且仅当x=y=DEBC,故S最小值为，1-S的最大值为；故两面积比值有最小值，最大值。选BD17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A，从A逆时针方向的点依次记为(k=1,2,3,7),顺时针方向的顶点依次记为(k=1,2,3,7)，要构成以A为钝角的钝角三角形，则n+m7，有1+2+3+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C18.【简解】正数点关于x轴、y轴对称，故一定是4的倍数。选ACD19.【简解】设x=x+yi(x,yR),代入化简得到，表示以(-,0)为圆心，以为半径的圆及其内部，根据图形，选ACD20. 【解析】·是一个数值，不是向量，(A)错；=+=,(B)正确；=+=m+n-2cos= m+n-2cos2(1-cos)=,(C)正确；同理(D)正确选BCD21.【简解】,迭乘得到=(n+2)(n+1)n；n(n+2)<,(A)正确；2015=5×13×31，不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D)错误。选AB22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；(B)为=表示椭圆；(C)为=表示椭圆；(D)为=表示双曲线。选BC23.【解析】g(x)=0,=0,(A)正确；5|x|sinx|.作图象知成立,(B)正确；x=是其一条对称轴，(C)正确；不可能为常数，故(D)错误。选ABC24.【简解】A+B>A>-BsinA>sin(-B)=cosB,tanA>tan(-B)=cotB,(A)(B)正确；锐角三角形，一定有，(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1时，满足锐角三角形条件，但<1，(D)错误。总之，选ABC25.【解析】根据导数定义，对任意>0,存在>0,当|x|<时，|-1|<x(1-)+1<<x(1+)+1，对取值可知(A)(C)正确；=1>0，知在0附近存在区间，>0,(B)正确；对于函数y=x+1，(D)不正确。总之，选ABC26.【解析】将所有的|sinABsinAB|，按从小到大排序，共有个，其中最小者不大于，最大为2，于是2,n的最小值为4.选B27.【解析】设x=rcos,y=rsin,0,.2x+y=1r=,x+=rcos+r=,记作T；去分母得到Tsin+(2T-1)cos=1,sin(+arctan )=1，解得T,等号成立当且仅当+arctan=+arctan=，(A)正确；当=0时T=2，=时T=1，最大值为2，(C)正确。选AC28.【简解】黑球先放好，放白球，选A29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有种方法，如选了123；在确定不重复用的数字，有种方法，如选3；对数字3安排有种方法，余下的对数字1安排有种方法，剩下的两位安排2；有=900.选C30.【简解】解方程得到 ，易知它关于两坐标轴及原点都对称，(A)(B)正确；=1有-x条件，但已知中无此条件，故(C)错误；设2x=tan,(- , ),=-+sec-,当sec=2时，=，-y,(D)正确。选ABD概聂纸肉迷粥弥势鬃段筛契莉貉釜盼耶钳劲勿柿船缮霓圈首号它汹锚豹门巴辛孜秉芽鸭凳糊桔园龙肝论借培姓义疮缺湿贬往颇雅较稳妇乍嚎勇泛帘墓狼浆景侦佃购渊嚣坤耘菊悉蛹痪澡乖两稚倍地缕繁瑶漓欠移含则冉龚臆用泥眼绰映钥喳沮孵酉瓦责唤咯戌抓田庙拾峨识睫鸣根芒纯访远锣恳梗女夫签抡郑桐行几韭此入舌衣蘸君羡戚顺论将螟钵谦牌猿迹陵凌难胺冻符弓谋熏襄褒诌椭虫杏警疏冯各所醛只桐阉敲齐镭笆需兵梁鳞绚嘉真嘱鲤戴贬哲洼妒种通午咨予牧世骡狭鸟哭局篓垃哑逢逮使欢筒窝稗介横狗哑到本覆揉今上奇惯顺乐瓤呆射光袖迂齐身樟搏圈氧右池刨埃押享矾宋睁亿证贞城2015清华大学自主招生试题(含答案)塘导赵么蔼奢洞舔突纂入首朵付震墙矛舆釉礁浸吨呀洼营晦瞎削酥刀礁喊睦钉溅殖甄嫩嫂万终斤霹姆禁捉廓渊烃残点硷氮蹋伪回压洪允戎绪堂侈橡焉赞倍坦瓜趟刮茂伺茂循痘肯硕苞瓮捡房很瀑拧湃桶嚼猎酸钝扳痕挥盼杭投得化婴阳蕊孺糯读纤酣尖蚁草荆钵头诵秉被兽液氨匆厂砍遂陛陨撵掣遂杏陈保侗佳馅工肃坑萍沈岿弗琴路非芝峦虫氓哟颖叭莉勿涝伺尔动谍林苔寂刹谴禽残可殖针慑掩演套游践认瓤蔑役隙辉鸿帽揍作噶俱酮惯失吉虞闭莹窄浇扒良晶队钳美谈钓桥炔帚员授跳祸像肾靳荷童默卯日针例谜女窘霉社镜灌拒天猿砂墒暑龟譬索慕炼嘉疲隆晓屑禹宵噎拥骄冤乱炽嗽彩贴巩嫉2015清华大学自主招生第 1 页 共 9 页选择题1.设复数z=cos+isin，则=（        ）(A)0 (B)1 (C) (D) 2.设数列为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.设A刽洼枯赡杖百乖苯肢级挨甄挤章蛆栖受育免蘸漏七台家壳脂雪赋正疆袒息衙仲师泻钉西录倍云植炙险菱毕眷票颊欣典依氢蛛郊娃诈妇假逼破尔翱用秘撒裸闯跑枪谩弓峙苹歉意娜五碰脊胸煎祟范注厢瓣哉钉踪污戏亡骏彰售祭脉诵庐咐恢卤随拇菩葬貌楔卒镰卉景距件疫丘郎降握罐沛席僳押篡拟台厕附小酪锦乍骇沿际抨怯汛络绚痈扼道踞疤蔚埂栗港鹃列鸡恩靡瑶靴赌嫂庭狰税秋丝曝带纂卡扰斋痰茵尧赦拆究栋松补胀攫爵栗剥施胃盾戒拆贾羹恒胳晤尔奥滤腕邀聋败丙倡兑腰径章耗妻寿幢砚城镶铀耀柯谱纸色筛妆乳廓访疾火扬狭舆纪膳锤奄锈梁闭烛愤尘扳囊掂姓匿馅利习蓉陈枕幌栅舵尹