1、离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 教材第教材第3章习题与上机题解答章习题与上机题解答 1 计算以下序列的N点DFT，在变换区间0nN1内，序列定义为(1)x(n)=1(2)x(n)=(n)(3)x(n)=(nn0)0n0N(4)x(n)=Rm(n)0mN (5)(6)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(7)x(n)=ej0nRN(n)(8)x(n)=sin(0n)RN(n)(9)x(n)=cos(0n)RN(N)(10)x(n)=nRN(n)解解：(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章（2）（3）(4)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(F
2、FT)第章(5)0kN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(6)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章0kN1(7)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章或（8）解法一 直接计算：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解法二解法二 由DFT的共轭对称性求解。因为所以所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章即结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。(9)解法一 直接计算:离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解法二解法二 由DFT共轭对称性可得同样结果。因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章（1
3、0）解法一上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为x(n)=nRN(n)，所以 x(n)x(n1)NRN(n)+N(n)=RN(n)等式两边进行DFT，得到 X(k)X(k)WkN+N=N(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章故当k=0时，可直接计算得出X(0)为这样，X(k)可写成如下形式：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 解法二 k=0时，k0时，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章所以，即 2 已知下列X(k)，求x(n)=IDFTX(k)(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(2)其中，m为正整数，0m
4、N/2,N为变换区间长度。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章解:（1）n=0,1,N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章(2)n=0,1,N1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章3 已知长度为N=10的两个有限长序列：做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)，循环卷积区间长度L=10。解解:x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章题3解图离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章4 证明DFT的对称定理，即假设
5、X(k)=DFTx(n)，证明DFTX(n)=Nx(Nk)证：因为所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由于所以 DFTX(n)=Nx(Nk)k=0,1,N1 5 如果X(k)=DFTx(n)，证明DFT的初值定理证:由IDFT定义式离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章可知6 设x(n)的长度为N，且X(k)=DFTx(n)0kN1令h(n)=x(n)NRmN(n)m为自然数H(k)=DFTh(n)mN 0kmN1求H(k)与X(k)的关系式。解:H(k)=DFTh(n)0kmN1令n=n+lN,l=0,1,m1,n=0,1,N1,则离散傅里叶变换(DFT)及其快
6、速算法(FFT)第章因为 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章所以7 证明:若x(n)为实序列，X(k)=DFTx(n)N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=X*（Nk)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(Nn)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=x(Nn)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章证:(1)由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道，如果将x(n)表示为x(n)=xr(n)+jxi(n)则X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k)其中，Xep(k)=DFTxr(n)，是X(k)的共轭对
7、称分量；Xop(k)=DFTjxi(n),是X(k)的共轭反对称分量。所以，如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFTjxi(n)=0，故X(k)=DFTx(n)=Xep(k)，即X(k)=X*(Nk)。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章（2）由DFT的共轭对称性可知，如果 x(n)=xep(n)+xop(n)且X(k)=ReX(k)+j ImX(k)则ReX(k)=DFTxep(n),j ImX(k)=DFTxop(n)所以，当x(n)=x(Nn)时，等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又由（1）证明结果知
8、道，实序列的DFT必然为共轭对称函数，即X(k)=X*(Nk)=X(Nk)，所以X(k)实偶对称。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章同理，当x(n)=x(Nn)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(Nk)=X(Nk),为纯虚奇函数。8 证明频域循环移位性质：设X(k)=DFTx(n)，Y(k)=DFTy(n)，如果Y(k)=X(k+l)NRN(k)，则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 证：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章令m=k+l,则
9、9 已知x(n)长度为N，X(k)=DFTx(n)，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章求Y(k)与X(k)的关系式。解:离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章10 证明离散相关定理。若X(k)=X1*(k)2(k)则 证：根据DFT的惟一性，只要证明即可。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章令m=l+n，则所以 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章当然也可以直接计算X(k)=X1*(k)X2(k)的IDFT。0nN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由于0nN1所以离散傅里
10、叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章11 证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFTx(n)，则证：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章12 已知f(n)=x(n)+jy(n)，x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。设F(k)=DFTf(n)N 0kN1(1)(2)F(k)=1+jN试求X(k)=DFTx(n)N，Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。解解:由DFT的共轭对称性可知x(n)X(k)=Fep(k)jy(n)jY(k)=Fop(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章 方法一 （1）离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章0n
11、N1由于0n,mN1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章所以 x(n)=an 0nN1同理 y(n)=bn 0nN1 （2）F(k)=1+jN，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章方法二 令只要证明A(k)为共轭对称的，B(k)为共轭反对称，则就会有 A(k)=Fep(k)=X(k),B(k)=Fop(k)=jY(k)因为，共轭对称离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章，共轭反对称 所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由方法一知 x(n)=IDFTX(k)=anRN(n)y(n)=IDFTY(k)=bnRN(n)13 已知序列x(n)=
12、anu(n)，0a1,对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点，采样序列为求有限长序列IDFTX(k)N。解解:我们知道，,是以2为周期的周期函数，所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章以N为周期，将看作一周期序列的DFS系数，则由式知为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章将式代入式得到由于 所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由题意知 所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第章由于0nN1，所以因此说明：平时解题时，本题推导离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(
13、FFT)第章的过程可省去，直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0 n0,8ny(n)=0 n0时，|z1|slsu，所以不满足教材（6.2.56）式。按照教材（6.2.57）式,增大sl，则无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章采用修正后的设计巴特沃斯模拟带通滤波器。(3)将带通指标转换成归一化低通指标。套用图5.1.5中带通到低通频率转换公式，求归一化低通边界频率：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(4)设计模拟归一化低通G(p)：取N=3。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计
14、第章查教材表6.2.1，得到归一化低通系统函数G(p)：(5)频率变换，将G(p)转换成模拟带通Ha(s)：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章(6)用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)：以上繁杂的设计过程和计算，可以用下面几行程序ex612.m实现。程序运行结果如题12解图所示。得到的系统函数系数为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章B=0.0234 0 0.0703 0 0.0703 0 0.0234A=1.0000 2.2100 3.2972 2.9932 2.0758 0.8495 0.2406与手算结果有差别，这一般是由手算过程中可能产生的计算误差造成的。无限脉冲响
15、应(IIR)数字滤波器的设计第章%程序ex612.m wp=0.25，0.45；ws=0.15，0.55；Rp=3；As=15；%设置带通数字滤波器指标参数N，wc=buttord(wp，ws，Rp，As)；%计算带通滤波器阶数N和3 dB截止频率WcB，A=butter(N，wc)；%计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量A和Bmyplot(B，A)；%调用自编绘图函数myplot绘制带通滤波器的损耗函数曲线无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第章题12解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 教材第教材第7章习题与上机题解答章习题与上机题解答1 已知FIR滤波器的单位脉冲响应
16、为：（1）h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2）h(n)长度N=7 h(0)=h(6)=3 h(1)=h(5)=2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解：（1）由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N1n)，所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：由于N=6为偶数(情况2)，所以幅度特性关于=点奇对称。（2）由题中h(n)值可知，h(n)满足h(n)=h(N1n)，所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：由于7为奇数(情况3)，所
17、以幅度特性关于=0,2三点奇对称。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章2 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16，其16个频域幅度采样值中的前9个为：Hg(0)=12，Hg(1)=8.34，Hg(2)=3.79，Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点，求其余7个频域幅度采样值。解解：因为N=16是偶数（情况2），所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=点奇对称，即Hg(2)=Hg()。其N点采样关于k=N/2点奇对称，即Hg(Nk)=Hg(k)k=1,2,15综上所述,可知其余7个频域幅度采样值：Hg(15)=Hg(1)=8.34，H
18、g(14)=Hg(2)=3.79，Hg(13)Hg(9)=0有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章3 设FIR滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性函数和相位特性函数。解解:对FIR数字滤波器，其系统函数为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章由h(n)的取值可知h(n)满足：h(n)=h(N1n)N=5所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。频率响应函数H(ej)为所以其单位脉冲响应为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章幅度特性函数为 相位特性函数为4 用矩形窗设计线性相位低通FI
19、R滤波器，要求过渡带宽度不超过/8 rad。希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1）求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；（2）求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定与N之间的关系；（3）简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。解:（1）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2）为了满足线性相位条件，要求，N为矩形窗函数长度。因为要求过渡带宽度rad,所以要求,求解得到N32。加矩形窗函数,得到h(n)：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（3）N取奇数时，幅度特性函数Hg()关于=0,2三点
20、偶对称，可实现各类幅频特性；N取偶数时，Hg()关于=奇对称，即Hg()=0，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，要求过渡带宽度不超过/10 rad。希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1）求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)；（2）求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定与N的关系；（3）N的取值有什么限制？为什么？解解:（1）直接用IFTHd(ej)计算：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章hd(n)表达式中第2项正
21、好是截止频率为c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。而(n)对应于一个线性相位全通滤波器：Hdap(ej)=ej即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。（2）用N表示h(n)的长度，则h(n)=hd(n)RN(n)=有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章为了满足线性相位条件：h(n)=h(N1n)要求满足（3）N必须取奇数。因为N为偶数时（情况2），H(ej)=0，不能实现高通。根据题中对过渡带宽度的要求，N应满足：,即N40。取N=41。6 理想带通特性为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（1）求出该理想带通的单位脉冲响应hd(n)；（2）写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表
22、达式，确定N与之间的关系；（3）要求过渡带宽度不超过/16 rad。N的取值是否有限制？为什么？解解:（1）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式第一项和第二项分别为截止频率c+B和c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。所以，上面hd(n)的表达式说明，带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。（2）h(n)=hd(n)w(n)为了满足线性相位条件，与N应满足有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章实质上，即使不要求具有线性相位，与N也应满足该关系，只有这样，才能截取hd(n)的主要能量部分，使引起的逼近误差最小。（3）N取奇数和偶数时，均可实现带通滤波器。但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8/
23、N，所以，要求，即要求N128。7 试完成下面两题：试完成下面两题：（1）设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej)，另一个滤波器的单位脉冲响应为h1(n)，它与h(n)的关系是h1(n)=(1)nh(n)。试证明滤波器h1(n)是一个高通滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2）设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej)，截止频率为c,另一个滤波器的单位脉冲响应为h2(n)，它与h(n)的关系是h2(n)=2h(n)cos0n，且c0(c)。试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器。解解:（1）由题意可知对h1(n)进行傅里叶变换,
24、得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式说明H1(ej)就是H(ej)平移的结果。由于H(ej)为低通滤波器，通带位于以=0为中心的附近邻域，因而H1(ej)的通带位于以=为中心的附近，即h1(n)是一个高通滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法（设高通滤波器通带为c,）：设计一个截止频率为c的低通滤波器hLp(n)。对hLp(n)乘以cos(n)即可得到高通滤波器hHp(n)cos(n)=(1)nhLp(n)。(2)与(1)同样道理，代入h2(n)=2h(n)cos0n,可得有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章因为
25、低通滤波器H(ej)通带中心位于=2k，且H2(ej)为H(ej)左右平移0，所以H2(ej)的通带中心位于=2k0处，所以h2(n)具有带通特性。这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法。8 题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列，N=8，设 H1(k)=DFTh1(n)k=0，1，N1 H2(k)=DFTh2(n)k=0，1，N 1（1）试确定H1(k)与 H2(k)的具体关系式。|H1(k)|=|H2(k)|是否成立？为什么？（2）用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题8图有限脉冲响应(FIR)数
26、字滤波器的设计第章解解：（1）由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系：h2(n)=h1(n+4)8R8(n)由DFT的循环移位性质可得(2)由题8图可知，h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件：h1(n)=h1(N1n)h2(n)=h2(N1n)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章所以，用h1(n)和h2(n)构成的低通滤波器具有线性相位。直接计算FTh1(n)和h2(n)也可以得到同样的结论。设 所以，群延时为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章9 对下面的每一种滤波器指标，选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度。（1）阻带衰减为20 dB，过渡带宽度为1
27、kHz，采样频率为12 kHz；（2）阻带衰减为50 dB，过渡带宽度为2 kHz，采样频率为20 kHz；（3）阻带衰减为50 dB，过渡带宽度为500 Hz，采样频率为5 kHz。解解：我们知道，根据阻带最小衰减选择窗函数类型，根据过渡带宽度计算窗函数长度。为了观察方便，重写出教材第211页中表7.2.2。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章结合本题要求和教材表7.2.2，选择结果如下：（1）矩形窗满足本题要求。过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=200/12 000=/60，精确过渡带满足：1.8/N/60，所以要求N1.860=108
28、2）选哈明窗，过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=4000/20 000=/5，精确过渡带满足：6.6/N/5，所以要求N6.65=33。（3）选哈明窗，过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=1000/5000=/5，精确过渡带满足：6.6/N/5，所以要求N6.65=33。10 利用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布莱克曼窗设计线性相位FIR低通滤波器。要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率c=/4 rad，N=21。求出分别对应的单位脉冲响应。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解:(1)希望逼近的理想低通滤波器频响函数Hd(ej)为其中,a=(N1)/2=10。(2)
29、由Hd(ej)求得hd(n)：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(3)加窗得到FIR滤波器单位脉冲响应h(n)：升余弦窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 改进升余弦窗：布莱克曼窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章11 将技术要求改为设计线性相位高通滤波器，重复题10。解解:方法一 将题10解答中的逼近理想低通滤波器(Hd(ej)、hd(n)改为如下理想高通滤波器即可。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式中(n10)对应于全通滤波器。上式说明，高通滤波器的单位脉冲响应等于全通滤波器的单位脉冲响应减去低通滤波器的单位
30、脉冲响应。仿照10题，用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布菜克曼窗对上面所求的hd(n)加窗即可。计算与绘图程序与题10解中类同，只要将其中的h(n)用本题的高通h(n)替换即可。方法二 根据第7题（1）的证明结论设计。（1）先设计通带截止频率为/4的低通滤波器。对四种窗函数所得FIR低通滤波器单位脉冲响应为题9解中的hR(n)、hHn(n)、hHm(n)和hBl(n)。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(2)对低通滤波器单位脉冲响应乘以cosn可得到高通滤波器单位脉冲响应：矩形窗：升余弦窗：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 改进升余弦窗：布莱克曼窗：有限脉冲响应(FIR)数
31、字滤波器的设计第章题12图12 利用窗函数（哈明窗）法设计一数字微分器，逼近题12图所示的理想微分器特性，并绘出其幅频特性。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解:(1)由于连续信号存在微分，而时域离散信号和数字信号的微分不存在，因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器，即用数字差分滤波器近似模拟微分器。下面先推导理想差分器的频率响应函数。设模拟微分器的输入和输出分别为x(t)和y(t)，即令x(t)=ejt，则y(t)=jket=jkx(t)对上式两边采样（时域离散化），得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章其中=T。将x(nT)和y(nT)分别作为数字
32、微分器的输入和输出序列，并用Hd(ej)表示数字理想微分器的频率响应函数，则即有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章根据题12图所给出的理想特性可知所以应取k=T，所以Hd(ej)=j取群延时=(N1)/2，则逼近频率响应函数应为 Hd(ej)=jej=ej(/2)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章设FIR滤波器h(n)长度为N，一般取=(N1)/2。加窗后得到我们知道，微分器的幅度响应随频率增大线性上升，当频率=时达到最大值，所以只有N为偶数的情况4才能满足全频带微分器的时域和频域要求。因为N是偶数，=N/21/2=正整数1/2，上式中第
33、一项为0，所以有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章式就是用窗函数法设计的FIR数字微分器的单位脉冲响应的通用表达式，且具有奇对称特性h(n)=h(N1n)。选定滤波器长度N和窗函数类型，就可以直接按式得到设计结果。当然，也可以用频率采样法和等波纹最佳逼近法设计。本题要求的哈明窗函数：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章将式代入式得到h(n)的表达式：(2)对3种不同的长度N=20，40和41，用MATLAB计算单位脉冲响应h(n)和幅频特性函数，并绘图的程序ex712.m如下：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章%ex712.m：用哈明窗设计线性相位FIR微分器clear a
34、ll；close all；N1=20；n=0：N11；tou=(N11)/2；h1n=sin(ntou)*pi)./(pi*(n-tou).2).*(hamming(N1)；N2=40；n=0：N21；tou=(N21)/2；h2n=sin(ntou)*pi)./(pi*(n-tou).2).*(hamming(N2)；N3=41；n=0：N31；tou=(N31)/2；h3n=sin(ntou)*pi)./(pi*(ntou).2).*(hamming(N3);h3n(N31)/2+1)=0；%因为该点分母为零，无定义，所以赋值0%以下为绘图部分（省略）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
35、第章程序运行结果即数字微分器的单位脉冲响应和幅频特性函数曲线如题12解图所示。由图可见，当滤波器长度N为偶数时，逼近效果好。但N=奇数时（本程序中N=41），逼近误差很大。这一结论与教材给出的理论一致（对第二类线性相位滤波器，N=奇数时不能实现高通滤波特性）。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题12解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章也可以采用调用等波纹最佳逼近法设计函数remez来设计FIR数字微分器的方法。hn=remez(N1，f，m，defferentiator)设计N1阶FIR数字微分器，返回的单位脉冲响应向量hn具有奇对称特性。在大多数工程实际中，仅要求在频率区间
36、0p上逼近理想微分器的频率响应特性，而在区间p上频率响应特性不作要求，或要求为零。对微分器设计，在区间p上频率响应特性要求为零时，调用参数f=0,p/,(p+B)/,1，m=0,p/,0,0，其中B为过渡带宽度（即无关区），p不能太靠近，B也不能太小，否则设计可能失败。调用等波纹最佳逼近法设计函数remez设计本题要求的FIR数字微分器的程序ex712b.m如下：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章%ex712b.m：调用remez函数设计FIR微分器Wp=0.9；B=0.09；%设置微分器边界频率（关于归一化）N=40；f=0，wp，wp+B，1；m=0，wp，0,0；hn=remez
37、N-1，f，m，defferentiator)；%调用remez函数设计FIR微分器%以下为绘图部分（省略）请读者运行该程序，观察设计效果。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章13.用窗函数法设计一个线性相位低通FIRDF，要求通带截止频率为/4 rad，过渡带宽度为8/51 rad，阻带最小衰减为45 dB。（1）选择合适的窗函数及其长度，求出h(n)的表达式。（2*）用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。解：（1）根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。根据对阻带衰减及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。由习题9中教材表7.2.2，本题应选择哈明窗。因为过渡
38、带宽度Bt=8/51，所以窗口长度N为N6.6/Bt=42.075，取N=43。窗函数表达式为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej):式中有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 求hd(n):加窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2）调用MATLAB函数设计及绘图程序ex713.m如下：%ex713.m：调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图wp=pi/4；Bt=8*pi/51；wc=wp+Bt/2；N=ceil(6.6*pi/Bt)；hmn=fir1(N-1，wc/pi，hamming(N)rs=60；a=1；mpplot(
39、hmn，a，rs)%调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线程序运行结果即损耗函数和相频特性曲线如题13解图所示，请读者运行程序查看h(n)的数据。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题13解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章14.要求用数字低通滤波器对模拟信号进行滤波，要求：通带截止频率为10 kHz，阻带截止频率为22 kHz，阻带最小衰减为75 dB，采样频率为Fs=50 kHz。用窗函数法设计数字低通滤波器。（1）选择合适的窗函数及其长度，求出h(n)的表达式。（2*）用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。解解：（1）根据教材7.2.2节所给步骤进行设
40、计。根据对阻带衰减及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。本题要求设计的FIRDF指标：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章通带截止频率：阻带截止频率：阻带最小衰减：s=75 dB有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章由习题9中教材表7.2.2可知，本题应选凯塞窗(=7.865)。窗口长度N10/Bt=10/(sp)=20.833，取N=21。窗函数表达式为，=7.865 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej):有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 求hd(n):加窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章（2）调用MATLAB函数设计及绘图程序ex714.
41、m如下：%ex714.m：调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图Fs=50000；fp=10000；fs=22000；rs=75；wp=2*pi*fp/Fs；ws=2*pi*fs/Fs；Bt=ws-wp；wc=(wp+ws)/2；N=ceil(10*pi/Bt)；hmn=fir1(N-1，wc/pi，kaiser(N，7.865)；rs=100；a=1；mpplot(hmn，a，rs)%调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线程序运行结果即损耗函数和相频特性曲线如题14解图所示，请读者运行程序查看h(n)的数据。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题14解图有限脉冲响应
42、FIR)数字滤波器的设计第章15 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器，给定N=21，通带截止频率c=0.15 rad。求出h(n)，为了改善其频率响应（过渡带宽度、阻带最小衰减），应采取什么措施？解解:(1)确定希望逼近的理想低通滤波频率响应函数Hd(ej)：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章其中,a=(N1)/2=10。采样：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 求h(n)：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章因为所以有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章损耗函数曲线绘图程序ex715.m如下：%程序ex715.mN=21；n=0：N-1；hn=(1+2*c
43、os(2*pi*(n-10)/N)/N；rs=20；a=1；mpplot(hn，a，rs)%调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线运行程序绘制损耗函数曲线如题15解图所示，请读者运行程序查看hn的数据。为了改善阻带衰减和通带波纹，应加过渡带采样点，为了使边界频率更精确，过渡带更窄，应加大采样点数N。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题15解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章16 重复题15，但改为用矩形窗函数法设计。将设计结果与题15进行比较。解：直接调用fir1设计，程序为ex716.m。%调用fir1求解16题的程序ex716.mN=21；wc=0.15；hn
44、fir1(N-1，wc，boxcar(N)；%选用矩形窗函数(与上面求解中相同)rs=20；a=1；mpplot(hn，a，rs)%调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线运行程序绘制损耗函数曲线如题16解图所示。与题15解图比较，过渡带宽度相同，但矩形窗函数法设计的FIRDF阻带最小衰减约为20 dB，而15题设计结果约为16 dB。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题16解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章17 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器，设N=16，给定希望逼近的滤波器的幅度采样值为解解:由希望逼近的滤波器幅度采样Hdg(k)可构造出Hd(ej)的采样Hd(k)：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 18 利用频率采样法设计线性相位FIR带通滤波器，设N=33，理想幅度特性Hd()如题18图所示。题18图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解:由题18图可得到理想幅度采样值为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章
