解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面.docx
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1、第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1柱面2、设柱面的准线为,母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。解:由题意知:母线平行于矢量任取准线上一点,过的母线方程为:而在准线上,所以:消去,得到:此即为所求的方程。3、求过三条平行直线的圆柱面方程。解:过原点且垂直于已知三直线的平面为:它与已知直线的交点为,这三点所定的在平面上的圆的圆心为,圆的方程为:此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点,且方向为的直线方程为:将此式代入准线方程,并消去得到:此即为所求的圆柱面的方程。 4.2锥面2、已知锥面的顶点为,准线为,试求它的方程。解:设为要求的锥面上任一点,它与顶点的连线为:令它与准线交于,
2、即存在,使将它们代入准线方程,并消去得:此为要求的锥面方程。4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解:(这里仅求、卦限内的圆锥面,其余类推)圆锥的轴与等角,故的方向数为与垂直的平面之一令为平面在所求的锥面的交线为一圆,该圆上已知三点,该圆的圆心为,故该圆的方程为:它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点,过与顶点的母线为:令它与准线的交点为,即存在,使,将它们代入准线方程,并消去得:此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为,轴与平面垂直,且经过点的圆锥面的方程。解:轴线的方程为:过点且垂直于轴的平面为:即: 该平面与轴的交点为,它与的距离为:要求圆锥面的准线为: 对锥面上任一点,过该点与顶点的母线
3、为:令它与准线的交点为,即存在,使将它们代入准线方程,并消去得: 4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程:(1);绕旋转(2);绕旋转(3)绕轴旋转;(4)空间曲线绕轴旋转。解:(1)设是母线上任一点,过的纬圆为:又在母线上。从(1)(3)消去,得到:此为所求的旋转面方程。(2)对母线上任一点,过的纬圆为:因在母线上, (3)从(1)(3)消去,得到:此为所求的旋转面的方程。(3)对母线上任一点,过该点的纬圆为:又在母线上,所以: (3)从(1)(3)消去,得到:此为所求的旋转面方程。(4)对母线上任一点,过的纬圆为:又在母线上,所以从(1)(3)消去,得到:即旋转面的方程为: 4.4椭球面2
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