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1、“精品教案”作业表单省市县名称网络班级P姓名作业要求根据现代教学设计要素,按分层要求完成下一教学单元中一 节课的教学设计,根据自己实际情况选择其中一项,填写作业表 单。角色适合期教师:设一份自己的教案;经验积累期教师:设一份自己的教案,并说明设计教案的 思路;专业成熟期教师:对一份教案从备课角度实行系统评价。作业内容课题:算术平均数与几何平均数教学目的:1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定埋,2理解这个定理的几何意义,并掌握定理中的不等号 取等号的条件是:当且仅当这两个数相等 .3.通过掌握公式的结构特点,使用公式的适当变形, 提升学生分析问题和解决问题的水平
2、,培养学生的创新 精神,进一步增强学生的实践水平.教学重点:均值定埋证明教学难点:等号成立条件授课类型:新授课课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1 .同向不等式:两个不等号方向相同的不等式, 例如:ab, cd,是同向不等式.异向不等式:两个不等 号方向相反的不等式.例如:ab, cb,那么ba,如果bb.(对 称性)即:ab ba; bb定理2:如果ab,且bc,那么ac.(传递性)即 ab, bc ac定理3:如果ab,那么a+cb+c即 ab a+cb+c推论:如果ab,且cd,那么a+cb+d (相加法则) 即 ab, cd a+cb+d定理4:如果ab
3、,且c0,那么acbc;如果ab,且c0,那么acb 0,且cd0,那么acbd.(相乘 法则)推论2 若a b 0,则an bn(n N且n 1)定理5若a b 0,则喘呢(n N且n 1)二、讲解新课:1 .重要不等式:如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时取”号)证明:a2 b2 2ab (a b)2当 a bi,( a b)2 0,当 a b日i,(a b)2 0,所以,(a b)2 0,即(a2 b2) 2ab.由上面的结论,我们又可得到2 .定理:如果 a,b是正数,那么 三 J而(当且仅当a b时取号).证明:.( a)2 (-. b)2 2-, ab,a b
4、2vaba一- Jab2显然,当且仅当a b时,vOb2说明:i)我们称口为a,b的算术平均数,称 2而为a,b的几何平均数,因而,此定理又可叙述为:两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ii) a2 b2 2ab和 倔成立的条件是不同的:2前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,bA -ab都是正数Cb BDiii) “当且仅当”的含义是充要条件.3.均值定理的几何意义 是“半径不小于半弦”,以长为a+b的线段为直径作圆,在直径AB上取点C, 使AC=a,CB=b点C作垂直于直径 AB的弦DD,那么 CD2 CA CB ,即 CD 2 (ay+bx),求证:x y a b 2a b
5、x y分析:本题结论中,注意工与圣互为倒数,它 a b x y们的积为1,可利用公式a+bA2J石,但要注意条件a、 b为正数.故此题应从已知条件出发,经过变形,说明。与U为正数开始证题.a b x y证明::(a+b) (x+ y) 2 (ay+bx) -ax+ay+bx+ by 2ay + 2 bx .axay+bybx0(ax bx) (ay by) 0(a b) (xy) 0,即 ab与 xy 同号.J与二均为正数 a b x y xy a b x ya b _ o 2 2a b x y a b x y(当且仅当3 2时取“=”号) a b x y:.0A2. a b x y点评:我们
6、在使用重要不等式a2+b2n2ab时,只要求a、b为实数就能够了 .而使用定理:“圣 VOb”时, 2必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解),从讨论因式乘积的符号来判断 人与 a bab是正还是负,是我们今后解题中常用的方法, x y四、课堂练习:1. 求证:lg x log x 10 2(x 1)2. 比较大小 lgx logx10 2(0 x 1)3. 若x-1,则x为何值时,x ,有最小值,最小x 1值为几?答案:当x=0时,有最小值1思考:已知a,b,x,y 6R+且x+y=1,求W E的最小值 x y5已知a、b、c都是正数,求证(a + b) (b+ c
7、) (c+ a) 8 abc分析:对于此类题目,选择定理: U JOB (a0, 2b 0)灵活变形,可求得结果答案: a, b, c都是正数 a+bn2痴 0; b+c2痴 0; c + a2房 0(a+b) (b+c) (c+a) 2,rab - 2Vbc 2工厚=8 abc即(a+b) (b+ c) (c + a) 8 abc6.已知x、y都是正数,求证:(1) y - 2; x y(2) (x+ y) (x2+y2) (x3+y3) 8 x3y3分析:在使用定理:-b Jab时 注意条件a、b2均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),实行变形答案::*, y都是正数,-
8、 0,上0, x20, y xy20, x30, y30(1) X,2二=2即12 2 y x y xy x(2) x + y2xy 0; x2+y2A2 X2y2 0; x3+y32、/xV0. (x + y) (x2+y2) (x3 + y3) A2J为27?7 O/Tp=8 x3y3即(x + y) (x2+y2) (x3+y3) 8 x3y3,2, 27.求证:()2a2+b2 + 2ab=(a+b) 2 2 (a2 + b2) (a+b) 2不等式两边同除以4,得2,2ab (2j2,即(22,222ab;两正数a、b的算术平均数(3 ),几何平均数()2及它们的关系(2 A Wb)
9、 它们成立的条件不同,前2者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.它 们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具 六、课后作业:(1) “a+bA2、届”是 “a6R+, bSRT 的(B )A充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.即不充分也不必要条件设ba0,且a+b=1,则此四个数-,2ab, a2+ 2b2, b中最大的是(A )Ab B.a2+b2C.2abD .-2设 a, bR,且 a#b, a+b= 2,则必有(B )2 22 a b2.22 .22.2A1ab ab- B,ab Ka-b- C.abb 1 D222abb0,则下面不等式准确的是(C
10、)B a b 2ab iab2 a b恒成立的个数D ab 2ab a b a b 2a*b,在下列式子中,为(D )a2+3ab2b2 a,+ 校 a3b2+a2b3 a2+b2A2 (a-b-1)a-2b aA4 B302 D ,1 (7)设a, b, c是区间(0, 1)内的三个互不相等的实数且p= logca-, q=2log c a log c b1 . a b r log c 22则 p, q,r的大小关系是(C )Ap qrBp qrCr P qr y0, xy=1,求证:2匕 A2/2 yxy = 1,、2(x y) 2xy(xx yy)2Jx y)-2- =2,2 ,即 x
11、y2y- 2x;,2 y(9)已知 a2,求证:log a (a1) - log a (a+1)证明:2. . log a( a 1) 0,log a(a+ 1) 0,log a(a1) * log a( a + 1),-,logaCa-n-logaCaX 风32jgalaj)即 log a (a 1) log (;logaa2)(a+ 1) 3 J(a b)(b c)(c a) X 3 3:1- = 9.a b b c c a故1119a b b c c a 2(12)已知方程ax2+bx+c= 0有一根X10,求证:方程cx2+bx+a=0 必有一根 X2,使得 X1 + X22证明::方程ax2+bx+ c= 0有一根x10ax + bx + c= 0,a + 国 2 =0 x1 x1.c () 2 + b +a=0(方程 cx2 + bx+a=0 必有 x1x1一根0)x11 一 x + x2 = x + - A 2x1故方程cx2 + bx+a=0必有一根x2,使得x1 + x22七、板书设计(略) 八、课后记:
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