最新DOC-高考数学公式及知识点总结优秀名师资料.doc
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1、DOC-高考数学公式及知识点总结高考数学公式及知识点总结 高考圈-助你轻松跨过高考 高考数学公式及知识点总结 一. 备考内容: 知识点总结 二. 复习过程: 高考临近,对以下问题你是否有清楚的认识, 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异:集合A x|y lgx ,B y|y lgx ,性、无序性”。 如C (x,y)|y lgx ,A、B、C 中元素各表示什么, 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质: (1)集合 a1,a2,an
2、 的所有子集的个数是2n; (2)若A B A B A,A B B; (3)德摩根定律: UUUU U 4. 你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) C,A B, ,CA ,CB,,C,A B, ,CA, ,CB, U 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”( ),“且”( )和 “非”( ). 若p q为真,当且仅当p、q均为真 若p q为真,当且仅当p、q至少有一个为真 若 p为真,当且仅当p为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么, (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗,映射f:A?B,
3、是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射, (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同, (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型, 10. 如何求复合函数的定义域, 义域是_。 如:函数f(x)的定义域是a,b,b ,a 0,则函数F(x) f(x),f(,x)的定 (答:a,,a) 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗, 高考圈-助你轻松跨过高考 12. 反函数存在的条件是什么, (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗, (?反解x;?互换x、y;?
4、注明定义域) 13. 反函数的性质有哪些, ?互为反函数的图象关于直线y,x对称; ?保存了原来函数的单调性、奇函数性; ?设y f(x)的定义域为A,值域为C,a A,b C,则f(a)=b f(b) a 14. 如何用定义证明函数的单调性, (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性, ,1 f,1 f(a) f,1(b) a,ff,1(b) f(a) b (y f(u),u (x),则y f (x) (外层)(内层) 当内、外层函数单调性相同时f (x) 为增函数,否则f (x) 为减函数。) 如:求y log1,x2,2x,的单调区间 2 (设u ,x,2x,由u 0则0 x 2
5、 2 且log1u ,u ,x,1,1,如图: 22 当x (0,1时,u ,又log1u ,?y 2 当x 1,2)时,u ,又log1u ,?y 2 ?) 15. 如何利用导数判断函数的单调性, 在区间,a,b,内,若总有f(x) 0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于 3如:已知a 0,函数f(x) x,ax在 1,, ,上是单调增函数,则a的最大 零,不影响函数的单调性),反之也对,若f(x) 0呢, 值是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 高考圈-助你轻松跨过高考 a a (令f(x) 3x,a 3 x, x, 033 aa则x ,或x 33 2 ?a的最大值为3)
6、16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么, (f(x)定义域关于原点对称) 由已知f(x)在1,, )上为增函数,则a 1,即a 33 若f(,x) ,f(x)总成立 f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称 若f(,x) f(x)总成立 f(x)为偶函数 函数图象关于y轴对称 注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 (2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0) 0。 17. 你熟悉周期函数的定义吗, (若存在实数T(T 0),在定义域内总有f,x,T, f(x),则f(x)为周期 函数
7、,T是一个周期。) 如:若f,x,a, ,f(x),则 (答:f(x)是周期函数,T 2a为f(x)的一个周期) 又如:若f(x)图象有两条对称轴x a,x b, , 即f(a,x) f(a,x),f(b,x) f(b,x) 则f(x)是周期函数,2a,b为一个周期 如: 18. 你掌握常用的图象变换了吗, f(x)与f(,x)的图象关于y轴对称f(x)与,f(x)的图象关于x轴对称 高考圈-助你轻松跨过高考 f(x)与,f(,x)的图象关于原点对称 ,1f(x)与f(x)的图象关于直线y x对称 f(x)与f(2a,x)的图象关于直线x a对称 f(x)与,f(2a,x)的图象关于点(a,0
8、)对称 左移a(a 0)个单位y f(x,a)将y f(x)图象 右移a(a 0)个单位y f(x,a) 上移b(b 0)个单位y f(x,a),b 下移b(b 0)个单位y f(x,a),b 注意如下“翻折”变换: f(x) f(x) f(|x|) f(x) 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗, (1)一次函数:y kx,b,k 0, 的双曲线。 (2)反比例函数:y kk,k 0,推广为y b,k 0,是中心O(a,b)xx,a 2b 4ac,b2 2(3)二次函数y ax,bx,c,a 0, a x, ,图象为抛物线 2a4a b4ac,b2 b顶点坐标为 ,, ,对称轴x ,4
9、a 2a 2a 4ac,b2 开口方向:a 0,向上,函数ymin 4a 4ac,b2 a 0,向下,ymax 4a 应用:?“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程 ax2,bx,c 0, 0时,两根x1、x2为二次函数y ax2,bx,c的图象与x轴 高考圈-助你轻松跨过高考 ?求闭区间,m,n,上的最值。 ?求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ?一元二次方程根的分布问题。 x(4)指数函数:y a,a 0,a 1, (5)对数函数y logax,a 0,a 1, 的两个交点,也是二次不等式ax2,bx,c 0( 0)解集的端点值。 由图象记性质 (注意底数的限
10、定) ax(a1) 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么, (6)“对勾函数”y x,k,k 0,x 20. 你在基本运算上常出现错误吗, 指数运算:a0 1(a 0),a,p 1(a 0)pa a 对数运算:logaM?N logaM,logaN,M 0,N 0, M1log logM,logN,logM logaaaaaMNn logax x 对数恒等式:aamn am(a 0),a,mn 1m(a 0) 高考圈-助你轻松跨过高考 21. 如何解抽象函数问题, (赋值法、结构变换法) 对数换底公式:logab logcbn logambn logablogcam 如:(1
11、)x R,f(x)满足f(x,y) f(x),f(y),证明f(x)为奇函数。 (先令x y 0 f(0) 0再令y ,x,) (2)x R,f(x)满足f(xy) f(x),f(y),证明f(x)是偶函数。 (先令x y ,t f (,t)(,t) f(t?t) ?f(,t),f(,t) f(t),f(t) ?f(,t) f(t) (3)证明单调性:f(x2) f,x2,x1,x2 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗, (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。) 如求下列函数的最值: (1)y 2x,3,4x 2x,4 x,3 2x2 (
12、3)x 3,y x,3 (4)y x,4,9,x2设x 3cos , 0, (2)y , 23. 你记得弧度的定义吗,能写出圆心角为,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗, (5)y 4x,9,x (0,1x (l ?R,S扇11l?R ?R2)22 24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义 MP,cos OM,tan AT sin 高考圈-助你轻松跨过高考 T S O M x 如:若, 0,则sin ,cos ,tan 的大小顺序是8 又如:求函数y 1,cos ,x 的定义域和值域。 2 (?1,2cos ,x ) 1,sinx 0 2 ?sinx 2,如图:2 25. 你能迅速
13、画出正弦、余弦、正切函数的图象吗,并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗, ?2k ,5 x 2k ,k Z,,0 y ,44 高考圈 -助你轻松跨过高考 x 1,cosx 1 sin y y tgx x , O 2 对称点为 k,0 ,k Z 2 y sinx的增区间为 2k ,,2k , ,k Z,22 3 减区间为 2k ,,2k , ,k Z,22 图象的对称点为,k ,0,,对称轴为x k ,k Z, y cosx的增区间为 2k ,2k , ,k Z, 减区间为 2k , ,2k ,2 ,k Z, 图象的对称点为k ,,0 ,对称轴为x k ,k Z, 2 y tanx的增区间为
14、k ,,k , k Z 22 26. 正弦型函数y=Asin, x+ ,的图象和性质要熟记。或y Acos, x, , 2 (1)振幅|A|,周期T | | 高考圈-助你轻松跨过高考 若f,x0, A,则x x0为对称轴。 0为对称点,反之也对。 若fx0 0,则x0,(x,y)作图象。 ,(2)五点作图:令 x, 依次为0,3 , ,2 ,求出x与y,依点22 (3)根据图象求解析式。(求A、 、 值) (x1), 0 如图列出 (x), 2 2 解条件组求 、 值 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。 正切型函数y Atan, x, ,,T
15、| | 3 如:cos x, ,,x , ,求x值。6 22 ,?x, ,?x ) 3 7 5 5 13(? x ,? x, 26636412 28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗, 如:函数y sinx,sin|x|的值域是 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗, (平移变换、伸缩变换) 平移公式: (x 0时,y 2sinx ,2,2 ,x 0时,y 0,?y ,2,2 ) x x,ha (h,k)(1)点P(x,y) P(x,y),则 平移至 y y,k (2)曲线f(x,y) 0沿向量a (h,k)平移后的方程为f(x,h,y,k) 0 如:函数y 2
16、sin 2x, ,1的图象经过怎样的变换才能得到y sinx的 4 图象, 高考圈-助你轻松跨过高考 1 2倍(y 2sin 2x,1 横坐标伸长到原来的y 2sin 2 x , ,1 4 2 4 左平移个单位 1个单位4 2sin x, ,1 y 2sinx,1 上平移y 2sinx 4 1纵坐标缩短到原来的倍2 y sinx) 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗, 如:1 sin2 ,cos2 sec2 ,tan2 tan ?cot cos ?sec tan4 cos0 称为1的代换。2 “k? ”化为 的三角函数“奇变,偶不变,符号看象限”,2 sin“奇”、“偶”指k取奇、
17、偶数。 9 7 ,tan , ,sin,21 , 6 4 sin ,tan 又如:函数y ,则y的值为cos ,cot 如:cos A. 正值或负值 B. 负值 D. 正值 C. 非负值 sin 2sin ,cos ,1,(y 0,? 0)cos cos2 sin ,1cos ,sin sin , 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗, 理解公式之间的联系: 令sin sin cos cos sin sin2 2sin cos, 令2co,s , cos co s sin sin cos2 co2s,sin tan, , tan tan 22 2cos ,1 1,2sin
18、1 tan ?tan 1,cos2 2 1, cos2 2sin 2co2s b a tan2 2tan 21,tan asin ,bcos a2,b2sin, , ,,tan 高考圈-助你轻松跨过高考 sin ,cos sin , 4 sin ,3cos 2sin , 3 应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角 函数,能求值,尽可能求值。) 具体方法: (2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。 (1)角的变换:如 , , , ,, , , , 22 2 32. 正、余弦定理的各种表达
19、形式你还记得吗,如何实现边、角转化,而解斜三角形, sin cos 2 1,tan, , , ,,求tan, ,2 ,的值。1,cos2 3 sin cos cos 1(由已知得: 1,?tan 2sin 2 2sin2 2又tan, , , 3 21,tan , ,tan ,1?tan ), ,2 , tan, , , 1,tan 1,?8 , ?tan32 如:已知 b2,c2,a2 余弦定理:a b,c,2bccosA cosA 2bc 222 (应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。) a 2RsinAabc 正弦定理:2R b 2RsinBsinAsinBsinC c 2Rsi
20、nC 1S a?bsinC2 ?A,B,C ,?A,B ,C A,BC?sinC,si cos,A,B, sin22 A,B如 ABC中,2sin2,cos2C 12 (1)求角C; 22c2 (2)若a b,,求cos2A,cos2B的值。2 高考圈-助你轻松跨过高考 2(1)由已知式得:1,cosA,B,2cosC,1 1 , 2 又A,B ,C,?2cosC,cosC,1 0 1?cosC 或cosC ,1(舍)2 又0 C ,?C 3 1(2)由正弦定理及a2 b2,c2得:2 32222 2sinA,2sinB sinC sin 34 31,cos2A,1,cos2B 4 3?cos
21、2A,cos2B ,)4 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦:arcsinx ,, ,x ,1,1 2 2 反余弦:arccosx 0, ,x ,1,1 反正切:arctanx ,, ,,x R, 22 34. 不等式的性质有哪些, 35. 利用均值不等式: c 0 ac bc (2)a b,c d a,c b,d (3)a b 0,c d 0 ac bd 1111(4)a b 0 ,a b 0 abab (5)a b 0 an bn,a b (6)|x| a,a 0, ,a x a,|x| a x ,a或x a (1)a b,c 0 ac bc a,b a2,b2 2aba
22、,b R,;a,b 2;ab 求最值时,你是否注 2 意到“a,b R,”且“等号成立”时的条件,积(ab)或和(a,b)其中之一为定 ,2值,(一正、二定、三相等) 注意如下结论: a2,b2a,b2ab ab a,b R,22a,b , 高考圈-助你轻松跨过高考 当且仅当a b时等号成立。 222a,b,c ab,bc,ca,a,b R, 当且仅当a b c时取等号。 a b 0,m 0,n 0,则 bb,ma,na 1 aa,mb,nb 4如:若x 0,2,3x,的最大值为x 4 (设y 2, 3x, 2,2 2,4 x 423当且仅当3x ,又x 0,?x 时,ymax 2,43)x3
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