最新九年级数学下册+二次函数知识点总结+人教新课标版优秀名师资料.doc
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1、九年级数学下册 二次函数知识点总结 人教新课标版二次函数知识点 一、二次函数概念: 21(二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。 这里abcyaxbxc,,a,0需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零(二次函数的定义域是全体实数( bca,022. 二次函数的结构特征: yaxbxc,,? 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2( xx? 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项( abcacb二、二次函数的基本形式 21. 二次函数基本形式:的性质: yax,a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
2、性质 a 时,随的增大而增大;时,随yyxx,0x,0 00轴 y ,a,0向上 的增大而减小;时,有最小值( yxx,00时,随的增大而减小;时,随yyxx,0x,0 00轴 y, a,0向下 的增大而增大;时,有最大值( yxx,00 22. 的性质: yaxc,,上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 时,随的增大而增大;时,随yyxx,0x,0 0c轴 y ,a,0向上 的增大而减小;时,有最小值( yxcx,0 时,随的增大而减小;时,随yyxx,0x,0 0c轴 y, a,0向下 的增大而增大;时,有最大值( yxcx,023. 的性质: yaxh,,左加右减。
3、的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a时,随的增大而增大;时,随yyxxh,xh,h0 4. ,a,0向上 X=h 的增大而减小;时,有最小值( yxxh,0时,随的增大而减小;时,随yyxxh,xh,h0 , a,0向下 X=h 的增大而增大;时,有最大值( yxxh,02的性质: yaxhk,,三、二次函数图象的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a的平移 时,y随的增大而增大;时,y随xxh,xh,hk 1. 平移步骤: , a,0向上 X=h 的增大而减小;时,y有最小值( xxh,k方法一:? 将抛物线解析式转时,y随的增大而减小;时,y随xxh,xh,hk ,a,0向下
4、X=h 化成顶点式的增大而增大;时,y有最大值( xxh,k1 2,确定其顶点坐标; hkyaxhk,,2? 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下: hkyax,,向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”( hk概括成八个字“左加右减,上加下减”( 方法二: 22?沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成 y,ax,bx,cyy,ax,bx,cm22(或) y,ax,bx,c,my,ax,bx,c,m222?沿轴平移:向左(右)平移
5、个单位,变成(或y,ax,bx,cy,ax,bx,cy,a(x,m),b(x,m),cm2) y,a(x,m),b(x,m),c22四、二次函数与的比较 yaxhk,,yaxbxc,,22从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即yaxhk,,yaxbxc,,222bacb4,bacb4,,其中( yax,,hk,24aa24aa,2五、二次函数图象的画法 yaxbxc,,22五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点yaxbxc,,yaxhk,,()坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点0c、以
6、及0cy,关于对称轴对称的点2hc,、与轴的交点x0,x0(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). xx,12画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点. yx2六、二次函数的性质 yaxbxc,,2,bacb4,b 1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为( x,a,0,2a24aa,2bbb4acb,当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值( x,yx,yx,yxx2a2a2a4a2,bacb4,bb 2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为x,,顶点坐标为(当x,时,y随的增大而,xa,0,2a2a24aa,2 2bb4acb,增
7、大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值( x,yx,yx2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 21. 一般式:(,为常数,); yaxbxc,,acba,022. 顶点式:(,为常数,); yaxhk,,()ahka,03. 两根式:(,是抛物线与轴两交点的横坐标). yaxxxx,()()xxxa,01212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x2轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示(二次函数解析式的这三种形式可以互化. bac,40八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2二次函数中,作
8、为二次项系数,显然( yaxbxc,,aa,0? 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大; aaa,0? 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大( aaa,0总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小( aaa2. 一次项系数 b在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴( ab? 在的前提下, a,0b当时,即抛物线的对称轴在轴左侧; y,0b,02ab当时,即抛物线的对称轴就是轴; y,0b,02ab当时,即抛物线对称轴在轴的右侧( y,0b,02a? 在的前提下,结论刚好与上述相反,即 a,0b
9、当时,即抛物线的对称轴在轴右侧; y,0b,02ab当时,即抛物线的对称轴就是轴; y,0b,02ab当时,即抛物线对称轴在轴的左侧( y,0b,02a总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置( abb的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异” x,yyabab,0ab,02a总结: 3. 常数项 c? 当时,抛物线与y轴的交点在轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; xc,0? 当时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为; c,00? 当时,抛物线与y轴的交点在轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负( xc,0总结起来,决定了抛物
10、线与轴交点的位置( yc总之,只要abc都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的( 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法(用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便(一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式( 3 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 x22
11、 关于轴对称后,得到的解析式是; yaxbxc,,yaxbxc,x22关于轴对称后,得到的解析式是; yaxhk,,yaxhk,x,2. 关于轴对称 y22 关于轴对称后,得到的解析式是; yyaxbxc,,yaxbxc,,22关于轴对称后,得到的解析式是; yyaxhk,,yaxhk,,3. 关于原点对称 22 关于原点对称后,得到的解析式是; yaxbxc,,yaxbxc,,,22 关于原点对称后,得到的解析式是; yaxhk,,yaxhk,,,,4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180?) 2b22 关于顶点对称后,得到的解析式是yaxbxc,,,; yaxbxc,,2a22关于顶
12、点对称后,得到的解析式是( yaxhk,,yaxhk,,5. 关于点对称 mn,22关于点对称后,得到的解析式是 mnyaxhk,,yaxhmnk,,,,,22,根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变(求抛物线的对a称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式( 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况): x22一元二次方程是二次函数当函数值时的
13、特殊情况. y,0axbxc,,0yaxbxc,,图象与轴的交点个数: x2? 当时,图象与轴交于两点AxBx,00,其中的是一元二次方程xx,()xx,bac40x,1212122bac,42的两根(这两点间的距离. axbxca,,00ABxx,,21a? 当时,图象与轴只有一个交点; x,0? 当时,图象与轴没有交点. x,01 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有; y,0xxa,0 2当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有( y,0xxa,022. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为(0,c); yyaxbxc,,3. 二次函数常用解题方法总结: ? 求二次函数的图象
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