最新高中数学知识点大全打印优秀名师资料.doc
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1、高中数学常用公式及结论大全(新课标) 必修1 1、集合的含义与表示 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性:确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为:元素|元素的特征,例如 x|x,5,且x,N2、常用数集及其表示方法 (1)自然数集N(又称非负整数集):0、1、2、3、 *(2)正整数集N或N :1、2、3、 +(3)整数集Z:-2、-1、0、1、 (4)有理数集Q:包含分数、整数、有限小数等 (5)实数集R:全体实数的集合 (6)空集:不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系:属于?,不属于 ,例如:a是集合A的元素,就说a
2、属于A,记作a?A 4、集合与集合的关系:子集、真子集、相等 (1)子集的概念 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集(如图1),记A,BB,A作或. A,B 或 B A 若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q, (图1) P,Q记作 (2)真子集的概念 若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的B A ,真子集(如图2). 或. ABBA,(图2) (3)集合相等:若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B. A,B,B,A,A,B A,BB,CA,C5、重要结论(1)传递性:若,则
3、 (2)空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集. nnn2226、含有个元素的集合,它的子集个数共有 个;真子集有1个;非空子集有1个(即nn2不计空集);非空的真子集有2个. 7、集合的运算:交集、并集、补集 AB ,(1)一般地,由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集( 记作A?B(读作:A交B:),即A?B=,x|x?A,且x?B,( 1 (2)一般地,对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集(记作A?B(读作:A并B:),即A?B=,x|x?A,或x?B,( B A,(3)若A是全集U的子集,由U中不属于A的元素构成的集合,
4、 叫做A在U中的补集,记作 ,CACA,x|x,U,且x,AUU, CAA U 注:讨论集合的情况时,不要发遗忘了A,的情况。 、映射观点下的函数概念 8如果A,B都是非空的数集,那么A到B的映射f:A?B就叫做A到B的函数,记作y=f(x),其中x?A,y?B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的集合C(CB)叫做函数y=f(x),的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”,有时简记作函数f(x). 2,1x,x,09、分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如, y,2x,0,x,3,、求函数的定义域的原则:(解决任何函数问题,必须要考虑其定义域) 101?分
5、式的分母不为零; 如:y,则x,1,0x,1?偶次方根的被开方数大于或等于零; 如:y,5,x,则5,x,0?对数的底数大于,且不等于,; 如:y,log(x,2),则a,0且a,1a?对数的真数大于,; 如:y,log(x,2),则x,2,0ax?指数为,的底不能为零;,则 m,1,0如:y,(m,1)11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑) f(,x),f(x)(1)奇函数满足, 奇函数的图象关于原点对称; f(,x),f(x)(2)偶函数满足, 偶函数的图象关于y轴对称; f(0),0 注:?具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ?若奇函数在原点有定义,则 ?根据奇偶性可将函数分为四
6、类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑) f(x)当时,都有,则在该区间上是增函数,图象从左到右上升; x,xf(x),f(x)1212f(x)当时,都有,则在该区间上是减函数,图象从左到右下降。 x,xf(x),f(x)1212f(x)f(x)函数在某区间上是增函数或减函数,那么说在该区间具有单调性,该区间叫做单调(增/减)区间 2(0)a,axbxc,,013、一元二次方程 2,b,b,4ac2x,b,4ac (1)求根公式: (2)判别式: 1,22a,0,0,0(3)时方程有两个不等实根;时方程有一个实根;时方程无实根。
7、bcx,x,x,x,(4)根与系数的关系韦达定理:, 1212aa2(0)a,(0)a,14、二次函数:一般式; 两根式 y,ax,bx,cy,a(x,x)(x,x)122 y 2bbacb4,x (1)顶点坐标为;(2)对称轴方程为:x=; ,(,),2a24aa0 24acb,b(3)当时,图象是开口向上的抛物线,在x=处取得最小值 a,0,4a2a24acb,b 当时,图象是开口向下的抛物线,在x=处取得最大值 a,0,4a2a,(4)二次函数图象与轴的交点个数和判别式的关系: x时,有两个交点;时,有一个交点(即顶点);时,无交点。 ,0,0,015、函数的零点 2f(x),0使的实数
8、叫做函数的零点。例如是函数的一个零点。 xx,1f(x),x,100,y,f,xy,f,xfx,0注:函数有零点 函数的图象与轴有交点 方程有实根 ,x16、函数零点的判定: f(a),f(b),0y,f,x 如果函数在区间,上的图象是连续不断的一条曲线,并且有。那a,b,y,fxa,b么,函数在区间内有零点,即存在。 ,c,a,b,使得fc,0,17、分数指数幂 (,且) n,1amnN,0,m33m,111n3nmnn22na,(1).如;(2) . 如;(3); a,ax,x()aa,xmnm3axnaaa,0,nnnn(4)当为奇数时,; 当为偶数时,. aa,nnaa,|,aa,0,
9、a,0,r,s,Q18、有理指数幂的运算性质() rsr,srsrsrrra,a,a1)(; (2); (3) (a),a(ab),abx19、指数函数(a,0且a,1),其中是自变量,叫做底数,定义域是R y,axaa,10,a,1 y y 图 1 象 x 1 0 x (1)定义域:R 0 性 (2)值域:(0,+?) 质 (3)过定点(0,1),即x=0时,y=1 (4)在 R上是增函数 (4)在R上是减函数 3 ba,0,a,1a,N20、若,则叫做以为底的对数。记作:(,) NN,0logN,b a其中,叫做对数的底数,叫做对数的真数。 Nab注:指数式与对数式的互化公式: (0,1,
10、0)aaN,logNbaN,a21、对数的性质 (1)零和负数没有对数,即中; N,0logNalog1,0(2)1的对数等于0,即 底数的对数等于1,即loga,1aa ;lgN22、常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,记为:logN,lgN10 自然对数:以e(e=2.71828)为底的对数叫做自然对数,记为: lnNlogN,lnNelogNaa,N23、对数恒等式: 24、对数的运算性质(a,0,a?1,M,0,N,0) M(1); (2) ; log()loglogMNMN,,logloglog,MNaaaaaaNn(3) (注意公式的逆用) loglog()MnMnR,aalo
11、gNm25、对数的换底公式 logN, (,且,且,). a,0a,1m,0m,1 N,0alogam1nnlogb,推论?或; ?. loglogbb,maaalogamb(0,,,)26、对数函数(a,0,且a,1):其中,是自变量,叫做底数,定义域是 y,logxxaaa,1 0,a,1 y 图像 x 1 0 x 1 0 定义域:(0, ?) 值域:R 性质 过定点(1,0) 增函数 减函数 0x1时,y0 0x0 取值范围 x1时,y0 x1时,y 0时,有. 小于取中间 22xaxaxa,或.大于取两边 xa,2(2)、解一元二次不等式 的步骤: ax,bx,c,0,(a,0)2,b
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