最新高等工程数学第六章习题及答案优秀名师资料.doc
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1、高等工程数学第六章习题及答案第6章 常微分方程数值解法 讨论一阶常微分方程初值问题 ,dy,fxyaxb(,),dx,ya(), (6.1.1) 的数值解法. 数值解法可区分为两大类: yxxn,1n,1n(1) 单步法:此类方法在计算上的信息.如Euler法,Runge-Kutta法,Taylor级数法就是这类方法的典型代表. yxxx,n,1nnn,12(2) 多步法:此类方法在计算时,除了需要点的信息外,还需要个点上的信息.线性多步法是这类方法的典型代表. 离散化方法 1. Taylor(台劳)展开方法 2. 化导数为差商的方法 数值积分方法 3. 一、线性多步法 yx()yx()基本思
2、想:是利用前面若干个节点上及其一阶导数的近似值的线性组合来逼近下一个节点上的值. 1(一般公式的形式 ppyayhbynpp,,,,,1,,,1niniini,01ii abpii其中,为待定常数,为非负整数. 说明: ababp,1ppii(1)在某些特殊情形中允许任何或为零,但恒假设和不能同时全为零,此时称为步法,它yyy,.p,1p,001p需要个初始值当时,定义了一类1步法,即称单步法. b,0yb,0,1n,1,1(2) 若,此时公式的右端都是已知的,能够直接计算出,故此时称为显式方法;若,yfxy(,),nnn,111则公式的右端含有未知项此时称其为隐式方法. 2(逼近准则 准确成
3、立: ppyxayxhbyxnpp()()(),1,.,,,,,,,1niniini,01ii yxM(),yx()rr,1【定义6.1】 如果对任意,某一线性多步法准确成立,而当为某一个次多项式时,线性r多步法不准确成立,则称此线性多步法是阶的. 注: (1)方法的阶越高,逼近效果越好. rp,,22p,1(2)步法的最高阶可达 . 3(线性多步法阶与系数的关系 局部截断误差 ppTyxayxhbyxnpp,,()()(),1,.,,,1nniniini,01ii qq()Tcyxchyxchyx,,()()(),nnnqn01 其中 p,ca1,i0,i,0,pp,ciab1(),,,ii
4、1,ii,01,pp1,qq,1ciaibq1()()2,3,.,,,qii,q!ii01, r【定理6.1】 线性多步法是阶的充分必要条件是 CCCC,0,0011rr, Cr,1称为误差常数. CC,001线性多步法是相容的:满足条件,即 p,a,1,i,i,0,pp,()1,,,iab,ii,ii,01, 4(线性多步法的构造方法 待定系数法: ab,CCC,0,rii01r阶方法的系数确定,可令即解下面方程得到 p,a,1,i,i,0,pp,()1,,,iab,ii,ii,01,ppqq,1,()(),2,3,,,iaqiqr,i,ii,01, 二、线性多步法的收敛性 记 pp,,1p
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