最新高考第一轮复习数学:9.7+空间向量及其坐标运算(B)优秀名师资料.doc
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1、9.7 空间向量及其坐标运算(B)知识梳理1.若=xi+yj+zk,那么(x,y,z)叫做向量的坐标,也叫点P的坐标.2.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么ab=(x1x2,y1y2,z1z2),ab=x1x2+y1y2+z1z2,cosa,b=.3.设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则|M1M2|=.4.对非零向量a与b,有ab a=kb;ab ab=0.点击双基1.若a=(2x,1,3),b=(1,2y,9),如果a与b为共线向量,则A.x=1,y=1 B.x=,y=C.x=,y=D.x=,y=解析:a=(2x,1,3)与b=(1,2y,9)共线
2、,故有=.x=,y=.应选C.答案:C2.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙述中正确的个数是点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,y,z) 点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,y,z) 点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,y,z) 点P关于原点对称的点的坐标是P4(x,y,z)A.3 B.2 C.1 D.0解析:P关于x轴的对称点为P1(x,y,z),关于yOz平面的对称点为P2(x,y,z),关于y轴的对称点为P3(x,y,z).故错误.答案:C3.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且kab与2ab互相垂直,则k值是A.1B.C.D. 解析:ka+b=k(1
3、,1,0)(1,0,2)=(k1,k,2),2ab=2(1,1,0)(1,0,2)=(3,2,2).两向量垂直,3(k1)2k22=0.k=.答案:D4.已知空间三点A(1,1,1)、B(1,0,4)、C(2,2,3),则与的夹角的大小是_.解析:=(2,1,3),=(1,3,2),cos,=,=,=120.答案:1205.已知点A(1,2,1)、B(1,3,4)、D(1,1,1),若=2,则| |的值是_.解析:设点P(x,y,z),则由=2,得(x1,y2,z1)=2(1x,3y,4z),即则|=.答案: 典例剖析【例1】 已知=(2,2,1),=(4,5,3),求平面ABC的单位法向量.
4、即n=(,1,1),单位法向量n0=(,).解:设面ABC的法向量n=(x,y,1),则n且n,即n=0,且n=0,即2x+2y+1=0,4x+5y+3=0, 特别提示一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,可把n的某个坐标设为1,再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量,所以本题的单位法向量应有两解.【例2】 在三棱锥SABC中,SAB=SAC=ACB=90,AC=2,BC=,SB=.(1)求证:SCBC;(2)求SC与AB所成角的余弦值.解法一:如下图,取A为原点,AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系,则
5、有AC=2,BC=,SB=,得B(0,0)、S(0,0,2)、C(2,0), =(2,2),=(2,0).(1)=0,SCBC.(2)设SC与AB所成的角为,=(0,0),=4,| |=4,cos=,即为所求.解法二:(1)SA面ABC,ACBC,AC是斜线SC在平面ABC内的射影,SCBC.(2)如下图,过点C作CDAB,过点A作ADBC交CD于点D,连结SD、SC,则SCD为异面直线SC与AB所成的角.四边形ABCD是平行四边形,CD=,SA=2,SD=5,在SDC中,由余弦定理得cosSCD=,即为所求.特别提示本题(1)采用的是“定量”与“定性”两种证法.题(2)的解法一应用向量的数量
6、积直接计算,避免了作辅助线、平移转化的麻烦,但需建立恰当的坐标系;解法二虽然避免了建系,但要选点、平移、作辅助线、解三角形.【例3】 如下图,直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长;(2)求cos,的值;(3)求证:A1BC1M.(1)解:依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),=.(2)解:A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),=(1,1,2),=(0,1,2),=3,=,=.cos,=.(3)证明:C1(0,0,2),M(,2),=(1,1,2),=(,0
7、),=0,A1BC1M.深化拓展根据本题条件,还可以求直线AC1与平面A1ABB1所成的角.(答案是arcsin) 【例4】 如下图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.(1)证明ADD1F;(2)求AE与D1F所成的角;(3)证明面AED面A1D1F.解:取D为原点,DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,取正方体棱长为2,则A(2,0,0)、A1(2,0,2)、D1(0,0,2)、E(2,2,1)、F(0,1,0).(1) =(2,0,0)(0,1,2)=0,ADD1F.(2)=(0,2,1)(0,1,2)=0,AED1F,即AE与D1F成90角
8、.(3)=(2,2,1)(0,1,2)=0,DED1F.AED1F,D1F面AED.D1F面A1D1F,面AED面A1D1F.思考讨论本题是高考题,标准答案的解法较为复杂,而运用代数向量求解则轻而易举,充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性,这应作为立体几何复习的一个重点去掌握.通过坐标法计算数量积去证垂直,求夹角、距离,是高考的重点.闯关训练夯实基础1.设OABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若 =x+y+z,则(x,y,z)为A.(,) B.(,)C.(,)D.(,)解析:= = ( +)=+ (+)=+ ()+()=+ + ,而=x+y+z,x=,y
9、=,z=.答案:A2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角为A.arccosB.arccosC.arccos D.arccos解法一:= +, = +,=( +)(+)= .而|=.同理,|=.如令为所求之角,则cos=,=arccos.解法二:建立如下图所示坐标系,把D点视作原点O,分别沿、方向为x轴、y轴、z轴的正方向,则A(1,0,0),M(1,1),C(0,1,0),N(1,1,).=(1,1)(1,0,0)=(0,1),=(1,1,)(0,1,0)=(1,0,).故=01+0+1=,|= ,|=.cos=.=ar
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