年案201805092271.doc
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1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理自主学习必备知识考点2圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2,d|O1O2|)必会结论1关注一个直角三角形当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形2圆心在过切点且垂直于切线的直线上3两圆相交时公共弦的方程设圆C1:x2y2D1xE1yF10,圆C2:x2y2D2xE2yF20,若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由所得,即:(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.4两圆相切时,切点与两圆心三点共线5两圆不同的位置关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时,有4条公切线;(2)两圆外切时,有3
2、条公切线;(3)两圆相交时,有2条公切线;(4)两圆内切时,有1条公切线;(5)两圆内含时,没有公切线 考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)过圆O:x2y2r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切()(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交()(5)“m0”是“直线xym0与圆(x1)2(y1)22相切”的充分不必要条件()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编直线l:xy10与圆C:x2y24x
3、2y10的位置关系是()A相离 B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆心答案D解析圆的方程化为(x2)2(y1)24,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线l的距离为2,所以直线l与圆相交又圆心不在直线l上,所以直线不过圆心故选D.3在平面直角坐标系xOy中,直线3x4y50与圆x2y24相交于A,B两点,则弦AB的长为()A3 B2 C. D1答案B解析圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1,因为222123,所以|AB|2.4课本改编圆x2y24x0在点P(1,)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20答案D解析圆的方程为(x2)2y24,圆心坐标为(2,0),半径
4、为2,点P在圆上,由题可知切线的斜率存在,设切线方程为yk(x1),即kxyk0,2,解得k.切线方程为y(x1),即xy20.52018重庆模拟圆O1:x2y22x0和圆O2:x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切答案B解析圆O1的圆心坐标为(1,0),半径长r11,圆O2的圆心坐标为(0,2),半径长r22,故两圆的圆心距d,而r2r11,r1r23,则有r2r1dr1r2,故两圆相交62018温州十校联考对任意的实数k,直线ykx1与圆C:x2y22x20的位置关系是()A相离 B相切C相交 D以上三个选项均有可能答案C解析直线ykx1恒经过点A(0,1),圆x2y
5、22x20的圆心为C(1,0),半径为,而|AC|0,所以直线l与圆C相交故选A.解法二:因为圆心(0,1)到直线l的距离d1,故直线l与圆相交选A.解法三:直线l:mxy1m0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆C:x2(y1)25的内部,所以直线l与圆C相交故选A.触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法:(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:dr相离【变式训练1】2018深圳模拟已知点M(a,b)在圆O:x2y21外,则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定答案B解析因为M(a,b)在圆O:x2y21外,所以a2b21
6、,而圆心O到直线axby1的距离d4,所以点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x3,即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r,即此时满足题意,所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时,设切线方程为y1k(x3),即kxy13k0,则圆心C到切线的距离dr2,解得k.所以切线方程为y1(x3),即3x4y50.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.因为|MC|,所以过点M的圆C的切线长为1.触类旁通圆的切线有关的结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0,y0)的切
7、线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两点的直线方程为x0xy0yr2.(4)过圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长为|PT|.(5)过圆C:(xa)2(yb)2r2(r0)外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(6)若圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0),则过圆外一点P(x0,y0)的切线长d.【变式训练2】2015广东高考平行于直线2xy10且与圆
8、x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析设与直线2xy10平行的直线方程为2xym0(m1),因为直线2xym0与圆x2y25相切,即点(0,0)到直线2xym0的距离为,所以,|m|5.故所求直线的方程为2xy50或2xy50.命题角度2圆的弦长问题例3过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A,B两点,若|AB|8,则直线l的方程为()A5x12y200B5x12y200或x40C5x12y200D5x12y200或x40答案B解析圆的标准方程为(x1)2(y2)225,由|AB|8知,圆
9、心(1,2)到直线l的距离d3.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x4时,符合题意当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yk(x4),即kxy4k0.则有3,k.此时直线l的方程为5x12y200.命题角度3圆中的最值问题斜率型最值例4已知实数x,y满足方程x2y24x10,则的最大值为_,最小值为_答案解析原方程可化为(x2)2y23,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设k,即ykx.当直线ykx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值(如图),此时,解得k.所以的最大值为,最小值为.截距型最值例52018郑州模拟已知实数x,y满足x2y24(y0)
10、,则mxy的取值范围是()A(2,4) B2,4C4,4 D4,2答案B解析由于y0,所以x2y24(y0)为上半圆.xym0是直线(如图),且斜率为,在y轴上截距为m,又当直线过点(2,0)时,m2,所以即解得m2,4,选B.触类旁通直线与圆综合问题的解题策略(1)用几何法求圆的弦长:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则2r2d2.(2)求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无解;若点在圆上,有一解;若点在圆外,有两解(3)对于圆的最值问题,一般是根据条件列出关于所求目标的式子函数关系式,然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,应用不等式的性
11、质求出最值【变式训练3】2015江苏高考在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为_答案(x1)2y22解析解法一:设A(1,0),由mxy2m10,得m(x2)(y1)0,则直线过定点P(2,1),即该方程表示所有过定点P的直线系方程当直线与AP垂直时,所求圆的半径最大此时,半径为|AP|.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.解法二:设圆的半径为r,根据直线与圆相切的关系得r ,当m0时,10时,m212m(当且仅当m1时取等号)所以r,即rmax,故半径最大的圆的方程为(x1)2y22.考向两圆的位置关系 例6(1
12、)2016山东高考已知圆M:x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离答案B解析由题意知圆M的圆心为(0,a),半径Ra,因为圆M截直线xy0所得线段的长度为2,所以圆心M到直线xy0的距离d(a0),解得a2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r1,所以|MN|,则Rr0)的公共弦的长为2,则a_.答案1解析两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y,又a0,结合图形,利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形,可知 1a1.触类旁通如何处理两圆的位置关系判断
13、两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到【变式训练4】已知圆C1:x2y22mx4ym250与圆C2:x2y22x2mym230,若圆C1与圆C2相外切,则实数m()A5 B5或2 C6 D8答案B解析对于圆C1与圆C2的方程,配方得圆C1:(xm)2(y2)29,圆C2:(x1)2(ym)24,则圆C1的圆心C1(m,2),半径r13,圆C2的圆心C2(1,m),半径r22.如果圆C1与圆C2相外切,那么有|C1C2|r1r2,即5,则m23m100,解得m5或m2,
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