五年级下册数学专项训练 - 奥数第十二讲 容斥原理 _ 全国版 (含答案).doc
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1、第十二讲 容斥原埋家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。 在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理,也称为容斥原理.为了说明这个原理,我们先介绍一些集合的初步知识。这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成
2、长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗? 在讨论问题时,常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如:A=五(1)班全体同学.我们称一些事物的全体为一个集合.A五(1)班全体同学就是一个集合。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分
3、钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 例1 B全体自然数=1,2,3,4,是一个具体有无限多个元素的集合。例2 C=在1,2,3,100中能被3整除的数(3,6,9,12,99是一个具有有限多个元素的集合。集合通常用大写的英文字母A、B、C、表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五(1)班的每一位同学均是集合A的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集
4、合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、表示。记号AB表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合AB叫做集合A与集合B的并集.“”读作“并”,“AB”读作“A并B”。例3 设集合A=1,2,3,4,集合B=2,4,6,8,则AB=1,2,3,4,6,8.元素2、4在集合A、B中都有,在并集中只写一个。记号AB表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它
5、称为集合A、B的交集.符号“”读作“交”,“AB”读作“A交B”.如例3中的集合A、B,则AB=2,4。下面再举例介绍补集的概念。例4 设集合I=1,3,5,7,9,集合A=3,5,7。补集(或余集),如图中阴影部分表示的集合(整个长方形表示集合I).对于两个没有公共元素的集合A和B,显然有|AB|=|A|+|B|。例如,A=1,2,100,B=101,则所以|AB|1011001=|A|B|。如果集合A与B有公共元素,例如A1,2,100,B90,91,101,则AB(90,91,100,AB=1,2,101.此时,|AB|与|A|+|B|有什么关系呢?在这个例中,|AB|=101,|A|B
6、|10012=112。所以|AB|=|A|+|B|-11我们注意到,11恰为AB的元素个数.这是合理的,因为在求|AB|时,90,91,100这11个数各被计入一次,而在求|A|B|时,这11个数各被计入两次(即多算了一次),并且这11个数组成的集合恰为AB.因此得到|AB|=|A|+|B|-|AB|,(1)这就是关于两个集合的容斥原理:集合A与B的并的元素个数,等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和,减去集合A与B的交的元素个数。(1)是容斥原理的第一个公式.我们还可以用右图来说明.如图我们用N1、N2、N3分别表示AB中互不重叠的部分的元素个数。可见:|A|=N1N3,|B|=N2N3
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