四川省成都市高中数学第二章圆锥曲线及方程第9课时直线与抛物线的位置关系同步测试新人教A版选修1_12.wps
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1、第 9 9 课时 直线与抛物线的位置关 系 基础达标(水平一 ) 1.直线 l 经过抛物线 y2=8x 的焦点,与抛物线交于 A、B 两点,O 为原点,则的值为 ( ). A.12 B.20 C.-12 D.-20 = + 2, 【解析】焦点为(2,0),设直线 l 方程为 x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 2 = 8x, y2-8my-16=0, 2 2 1 1 2 y1y2=-16,x1x2= = (y1y2)2=4, 8 8 64 =x1x2+y1y2=-12. 【答案】C 2.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过点 F 且斜率为 3的直线与抛物线在
2、 x 轴上方的部分 相交于点 A,AKl,垂足为 K,则AKF 的面积是( ). A.2 B.4 C.4 3 D.8 【解析】由抛物线的定义知 AF=AK, 又KAF=60,所以AFK 是正三角形. 2 = 4x, 联立方程组 = 3(x - 1), 消去 y 得 3x2-10x+3=0, 1 解得 x=3 或 x= .由题意得 A(3,2 3), 3 1 所以AKF 的边长为 4,面积为 42 3=4 3. 2 【答案】C 3.已知 AB 是过抛物线 2x2=y 的焦点的弦,若|AB|=4,则 AB 的中点的纵坐标是( ). 5 15 A.1 B.2 C. D. 8 8 【解析】如图所示,设
3、 AB 的中点为 P(x0,y0),分别过 A,P,B 三点作准线 l 的垂线,垂足分别 | + | 1 1 15 为 A,Q,B,由题意得|AA|+|BB|=|AB|=4,|PQ|= =2,又|PQ|=y0+ ,y0+ =2,y0= . 2 8 8 8 【答案】D 4.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜 率的取值范围是( ). 1 1 A.- 2 B.-2,2 2, 1 C.-1,1 D.-4,4 【解析】由题意知,抛物线准线方程为 x=-2,点 Q(-2,0), = ( + 2), 设直线 l:y=k(x+2),由
4、2 = 8x, 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0. 当 k=0 时,x=0,即直线 l与抛物线的交点为(0,0), 当 k0 时,0,-1k0)的准线为 l,过点 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l相交于点 A,与抛物 线的一个交点为 B,若=,则 p= . 【解析】由题知准线 l为 x=- (p0), 2 过点 M且斜率为 3的直线为 y= 3(x-1), 则点 A(- 2, 3(- 2 - 1), 设 B(x,y),由=可知 M为 AB的中点, 又 M(1,0), - = 2 + 2, 2 + x = 2, 所以2 - 1)+ y = 0,即 3(- = 3(2 + 1), 代
5、入 y2=2px,得 p2+4p-12=0, 即 p=2 或 p=-6(舍去). 【答案】2 7.已知抛物线 y2=-x与直线 y=k(x+1)相交于 A,B两点. (1)求证:OAOB. (2)当OAB的面积为 10时,求 k的值. 2 = -x, 【解析】(1)如图所示,由 消去 x得 ky2+y-k=0. = ( + 1) 2 1 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-1,y1+y2=- . A,B 两点均在抛物线 y2=-x 上, 21=-x1,2=-x2, 212=x1x2. 1 2 12 1 又kOAkOB= = = =-1,OAOB. 1 2
6、12 12 (2)设直线与 x 轴交于点 N,显然 k0. 令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0). SOAB=SOAN+SOBN 1 1 = |ON|y1|+ |ON|y2| 2 2 1 = |ON|y1-y2| 2 1 = 1 2 (1 + 2) 2 - 4 12 2 - 4 1 2 2 1 1 =2 (- ) . + 4 = 10, 1 1 1 10= + 4,解得 k= . 2 6 2 拓展提升(水平二) 8.已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,=2(其中 O 为坐 标原点),则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( ). 17 2
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