第3章离散傅里叶变换(DFT).ppt
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1、引言 3.1 离散傅里叶变换(DFT)的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频域采样 3.4 DFT快速算法FFT 3.5 DFT的应用举例,第3章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT),引言,DFT与FT区别 FT: 序列的付里叶变换,时频对应关系 DFT: 序列的FT的有限点采样. 也可以直接定义 即DFT 是FT的N点等间隔采样 -频域采样定理 频域采样 时域周期重复 -N越大,DFT包络线越逼近FT DFT变换的意义:FT是连续谱,采样离散化后便于计算 机处理 DFT的定义、性质及频域采样定理、FFT及其应用,3.1 离散傅里叶变换的定义,DFT定义 DFT与Z变
2、换及FT的关系: DFT的物理意义 DFT的周期性: -DFT与DFS的关系 DFT是DFS的主值区间 DFT 的矩阵表示,3.1 离散傅里叶变换的定义,3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列, 则定义x(n)的N点 离散傅里叶正变换为,离散傅里叶逆变换为,离散傅里叶变换对,式中 , N称为DFT变换区间长度NM,可见: DFT使有限长时域离散序列与有限长频域离散序列建立起 对应关系,例 1,已知 ,分别求 和 时的 。,解:,由该例可知:频率采样点数不同,DFT的长度不同,DFT 的结果也不同。,图 3.1.1 X(k)与X(e j)的关系,例2 : ,分别计算x(n
3、)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为 x(n)的16点DFT为,返回,是 在频率区间上的等间隔采样,返回,可见: 对于同一序列x(n) DFT变换区间长度N不同,DFT变换结果X(k)不同,当N确 定后, X(k) 与x(n)一一对应的. N越大, DFT的包络线越接近FT,当N足够大,可用DFT 进行谱分析,DFT的物理意义: DFT与FT的关系:X(k) 是x(n)的频谱X(e j)在0, 2上的 N点等间隔采样,采样间隔2/N.即对序列频谱的离散化. DFT与ZT的关系: X(k) 是x(n)的Z变换X(Z)在单位圆上N点等间隔采样.对序列的傅里叶变换进行频域抽样时,
4、自 然可以看作是对单位圆上的 Z变换进行抽样. 表达式如下,设序列x(n)的长度为N, 其Z变换和DFT分别为:,比较上面二式可得关系式,离散频率、数字频率和模拟频率间的关系,模拟频率,离散频率,或 ,分别表示模拟频率与模拟角频率。单位分别为赫兹(Hz)和弧度/秒(rad/s)。两者关系为:,离散频率、数字频率和模拟频率间的关系,数字频率,它是将离散(信号数字)频率 离散化后的结果,用 表示。 ,因此可得出离散频率 、数字频率 和模拟频率 之间的对应关系为:,以上所讨论的三种频率变量之间的关系,在对模拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数字滤波器乃至整个数字信号处理中十分重要,望同学们高度
5、重视。,3.1.2 DFT的隐含周期性- DFT与 DFS的关系 DFT变换对中,x(n)与X(k)均为有限长序列,但由于WknN的周 期性, 都隐含周期性, 且周期均为N。 有 限 长 序 列 是 取 周 期 序 列 的 一 个 周 期 来 表 示 . 周期序列 与有限长序列x(n)的转化: x(n),周期延拓,为了以后叙述方便, 将(3.1.5)式用如下形式表示:,N(n)=x(n)N,,N(k)=X(k)N,,文字说明,图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓,对任意整数m, 总有 均为整数 因此: X(k) x(n) 隐含周期性 X(k)满足 同理可证明x(n+mN)=x(n) DFT是
6、 DFS的主值区间,x(n),X(k),DFS,DFT,公式说明,如果x(n)的长度为N, 且 (n)=x(n)N, 则可写 出 (n)的离散傅里叶级数表示为,取主值区间,DFS对,DFT对,公式说明,式(3.1.5)(3.1.8)说明了DFT和DFS之间的关系。 这些关系式成立的条件是N M,即DFT的变换区间N不能小于x(n)的长度M。如果该条件不满足,按照式(3.1.5)将x(n)进行延拓时, 中将发生时域混叠,由式(3.1.8)得到的X(k)不再是x(n)的DFT,这时以上讲的DFS和DFT之间的关系不再成立,M为整数,M为整数,重要公式,(n)=x(n)N,,式中x(n)N表示x(n
7、)以N为周期的周期延拓序列, (n)N 表示n对N求余, 即如果 n=MN+n1, 0n1N-1, M为整数, 则 (n)N=n1 例如,则有,3.1.3 DFT的矩阵表示,周期序列 的DFS以及有限长序列x(n)的DFT如下 可以发现它们右边的函数形式一样,当然k的定义域不同,X(k)只是 的主值区序列,或者说X(k)以N为周期进行周期延拓即是,返回,也可以表示成矩阵形式 式中,X 是N点DFT频域序列向量: x是时域序列向量: DN称为N点DFT矩阵,定义为,(3.1.12),返回,回到本节,也可以表示为矩阵形式: 称为N点IDFT矩阵,定义为 从式(3.1.12)和式(3.1.14),我
8、们可以发现,(3.1.14),返回,回到本节,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,1 线性性质 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列,长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数, 即N=maxN1, N2, 则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2k, 0kN-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。 若N1N2,则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变成长度为N序列, 然 后 都 作N点的 DFT .,2、 X(k) x(n)隐含周期性,取整数,由于,3 循
9、环移位性质 ( 1).移位 线 性 移 位:序 列 沿 坐 标 轴 的 平 移 序列的循环移位(圆周移位) 设x(n)为有限长序列, 长度为N, 则x(n)的m 点循环移位定义为 表示将序列 x(N) 以N为周期进行周其延拓, 再左移m 个单位,并取主值区间序列,图 3.2.1 循环移位过程示意图,有限长序列循环移位的 实现步骤,序列点数不够时补零, 补到所需的N点,延拓为周期序列,移位,取主值区间,(2). 时域循环移位定理 设N点 有限长序列x(n) 的 DFTx(n)=X(k) 0kN-1 则 DFTx(n+m)NRN(n)=WN-kmX(k) 证明:,令n+m=n, 则有,因为式中x(
10、n)NW knN, 以N为周期, 所以对其在任一个周期上求和的结果不变。,(3). 频域循环移位定理 设频域N点有限长序列X(k) 0kN-1,则,4 循环卷积定理,卷 积 线性卷积 循环卷积(圆周卷积) 圆周卷积与线性卷积的对比 线卷积:反折、平移、相乘、积分(或相加) 圆卷积:循环反折、循环平移、相乘、相加,线性卷积,线 性 卷 积 定 义:有 限 长 序 列 x1(n),0nN1-1; x2(n),0nN1-1 则 线 性 卷 积 为 注意:线 性 卷 积 结 果 长 度 变 为 N1+N2-1 .,反转 移位,循环卷积(圆 周 卷 积),有限长序列x(n)和h(n), 长度分别为N和M
11、,,循环卷积定义为,且圆 周 卷 积 结 果 长 度 不 变, 为 L.,即循环卷积亦满足交换律。,循环反转循环移位,式中,L称为循环卷积的长度,L=max N,M 。 为了区别线性卷积,用 表示循环卷积,用 表示L点循 环卷积 ,即 h(n) 。,循环卷积(圆 周 卷 积) 的 实 现 步 骤,循环反转,循环移位,比较x(n) h(n) 线性卷积 和 循环卷积(圆周卷积)的不同,线性卷积与圆周卷积步骤比较1,线性卷积: 圆周卷积:(L=7)补零加长,2,3,1,x(m),5,4,m,0,N=5,2,3,1,x(m),5,4,0,L=7,m,(1),线性卷积与圆周卷积步骤比较2,2,3,1,h
12、(m),0,m,(2)线卷积无需周期延拓, 而圆周卷积需进行周期延拓:,线卷积的反折: 圆卷积的反折(并取主值区间:,2,3,1,2,3,1,2,3,1,h(-m),m,0,7,线性卷积与圆周卷积步骤比较3,(3)平移,2,3,1,h(1-m),m,0,2,3,1,h(1-m),m,0,(4)相乘 x(m)h(-m)=51=5 x(m)h(1-m)=5*2+4*1=14 x(m)h(2-m)=5*3+4*2+3*1=26,2,3,1,x(m),5,4,m,0,2,3,1,x(m),5,4,0,N=7,m,x(m)h(3-m)=4*3+3*2+2*1=20 x(m)h(4-m)=3*3+2*2+
13、1*1=14 x(m)h(5-m)=2*3+1*2=8 x(m)h(6-m)=1*3=3,线性卷积与圆周卷积步骤比较4,(5)相加 得到线性卷积的示意图,相加 得到圆周卷积的示意图,14,26,5,n,y(n),20,14,8,3,0,14,26,5,n,y(n),20,14,8,3,0,可见,线性卷积与圆周卷积相同(当NN (5)+M(3)-1=7时),线性卷积与圆周卷积步骤比较5,若圆周卷积取长度为L=5,则求圆周卷积,2,3,1,x(m),5,4,0,N=5,m,2,3,1,h(-m),m,0,求得圆周卷积 x(m)h(-m)=5*1+2*3+1*2=13 x(m)h(1-m)=5*2+
14、4*1+1*3=17 x(m)h(2-m)=5*3+4*2+3*1=26,x(m)h(3-m)=4*3+3*2+2*1=20 x(m)h(4-m)=3*3+2*2+1*1=14 看出圆卷积与线卷积不同.,17,13,26,y(n),n,0,20,14,有限长序列循环卷积的矩阵形式 上式中右边第一个矩阵称为x(n)的L点循环矩阵,它的特点 是: (a)第一行是x(n)的L点循环倒相。x(0)不动,后面其它反 转180放在他的后面。 (b)第二行是第一行向右循环移一位; (c)第三行是第二行向右循环移一位;依次类推。,返回,例3.2: 计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的 4点和8
15、点循环卷积。 解: 按照式(3.2.21)写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形 式为,返回,周期延拓 反折 移动,h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为,返回,时域卷积-频域相乘 频域卷积-时域相乘(自已证),(2)循环卷积定理,时域卷积-频域相乘 证明: 直接对上式两边进行DFT,令n-m=n, 则有,因为上式中x2(n)NW knN, 以N为周期, 所以对其在任一个周期上求和的结果不变。 因此,用时域循环卷积定理计算两个序列循环卷积运算的方框图如下图所示,图3.2.3 用DFT计算两个有限长序列L点循环卷积运算的方框图,5离散巴塞伐尔定理,设长度为N的序列x(n)的N点DFT为X
16、(k),则,6 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列, 长度为N 且X(k)=DFTx(n) 则 DFTx*(n)=X*(N-k), 0mN-1 (3.2.6) 且 X(N)=X(0) 类似的 (3.2.7),证明: 根据DFT的唯一性, 只要证明(3.2.6)式右边等于左边即可,将DFT定义式中的K 用N-K代替,并取共轭,又由X(K)的隐含周期性有X(N)=X(0) 用同样的方法可以证明,7 DFT的共轭对称性,回顾: (1)序列的对称性 a.奇 对 称(序 列) 和 偶 对 称(序 列) xe(n)=xe(-n) x0(n)=-x0(-n) b.(DFT有限长)圆 周
17、奇 对 称(序 列) 和 圆 周 偶 对 称(序 列) xep(n) =xep(N-n) xop(n) =-xop(N-n) c.共 轭 对 称(序列) 和 共 轭 反 对 称 (序 列) xe(n)=x*e(-n) xo(n)=-x*o(-n) d. (DFT有限长)圆 周 共 轭 对 称(序列) 和 圆 周 共 轭 反 对 称 (序 列) xep(n) =xep*(N-n) xop(n) =-xop*(N-n),复,可见:a,c一般序列的对称指 对坐标原点的对称,而b,d圆周或 DFT变换对有限长序列的对称是对 变称区间的中心 的对称,(2) 序列的对称分量 x(n)= xo(n)+ xe
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- 离散 傅里叶变换 DFT
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