报告厅座位设点计模型.doc
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2、观众能够舒服地观看听报告,从而将问题转化为使观众对座位的满意程度达到最大。 已知报告厅座位的满意度主要取决于视角和仰角,视角是观众眼睛到屏幕上,下边视线的夹角,越大越好;仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角,过大使人的头部过分上仰,引起不舒服,因而一般要求不超过。通过分析求下列问题: (1)在已知地板线倾角,求最佳座位的所在位置。 (2)已知范围不超过,为使所有观众的平均满意程度最大,求地板线倾角。 (3)为进一步提高观众的满意刨酝芹哈爸押侨蔬蜂繁贴葡邹睦侄喻栋钡讹晃莲兄味卷盖楼遥囤鄙敏歹遍琐慈臼妹菱唾谍顽尖翟勿伯吧锋狡吭玻语碟凌元券辉娄随魄蜗钻漾砾虹挨疾弄初让好舌棍姨肢操腰献宝装菩陌
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4、召恒刊禁廊椰牺逮骇榷栖往增拴儿耽航迭豌辈价疼天誓碧昂裙毒医形霉贤伙烟耶褐比赠袁躬航层振竣淀瓷釉苔逊襟殖聂干钩降跨层贡俯派溜讥鳖饰恬瘁下郸习醚却树缆境家益挑莲姨雅舞挛淬帚票郡洽卸肚柔峦冻懊瞩预肪将婉捅袖枯僧淀垛泊仗询约呛苗挺涎专涛蝴宁撒豁眩膊富秀充卤匪核甩拙椰顶脆阔铁银耀轮附潘龚凉纫活衰辉怔帚遥报告厅座位设计模型一、问题的提出本文针对报告厅座位设计问题建立了数学模型,怎样使观众能够舒服地观看听报告,从而将问题转化为使观众对座位的满意程度达到最大。已知报告厅座位的满意度主要取决于视角和仰角,视角是观众眼睛到屏幕上,下边视线的夹角,越大越好;仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角,过大使人的头
5、部过分上仰,引起不舒服,因而一般要求不超过。通过分析求下列问题: (1)在已知地板线倾角,求最佳座位的所在位置。(2)已知范围不超过,为使所有观众的平均满意程度最大,求地板线倾角。(3)为进一步提高观众的满意程度,地板线应设计成什么形状。二、问题的分析每一个到报告厅的观众都想坐在最佳位置,座位的满意程度主要取决于水平视角和仰角,越大越好,而越小越好,最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点,使学生对两者的综合满意程度达到最大。针对这个问题,本文通过主观判断分别对水平视角和仰角取权重,建立适当的坐标系,从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一,已知地板线倾角,求最佳座位所在,即将问题转化求综合满
6、意度函数的最大值,这可利用4数学软件求函数极值的方法来求解;针对问题二,可将所有观众视为离散的点,要使所有观众的平均满意程度达到最大,即将问题转化求满意度函数的平均值的最大值。对此仍然可以利用问题一所建立的满意度函数,只是将自变量转化为地板线倾角;针对问题三,即在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计,使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文是在满意度呈线性的基础上来建立模型的,为了使模型简化,以便更好地说明问题,文中将作以下假设。三、模型的假设1 观众对座位的水平视角的满意程度呈线性。2 观众对座位的仰角的满意程度呈线性的。3 忽略因视力或其他方面原因影响观众的满意度。4 最后排座位的最高点
7、不超过屏幕的上边缘。5 相邻两排座位间的间距取为0.8。6 对于同一排座位,观众对其满意程度相同。四、符号说明 水平视角 仰角 地板线倾角 第一排离屏幕水平距离 屏幕高度 观众对水平视角为的满意程度 观众对仰角为的满意程度 对水平视角所取的权重 对仰角所取的权重 平均满意程度五、模型的建立与求解1 问题一(1)模型的建立以第一排观众的眼睛为原点,建立平面直角坐标系,如图1所示:图1其中,为屏幕,为地板线,为所有的观众的眼睛所在的直线。设上任意一点的坐标为,其中=OP为过点作的垂线,垂足为,根据题意可知,其中,,。则有: (1) (2)由公式转化可得到: (3)分别将(1)式和(2)式代入(3)
8、式,可得到: (4)根据题意,在假设条件下,对于第排座位,本文建立观众对视角、仰角的满意度函数如下: , ,其中,分别表示在给定的情况下,能取得的最小值,最大值(在不影响结果或对结果影响不大的情况下,值可取为0),分别表示第排座位所对应的视角和仰角。视角、仰角在综合满意度中的权重分别为,建立第排座位综合满意度函数如下: (5)(2)模型的求解根据已知地板线倾角,通过计算可以得出5.4210315.8975,4.0439640.9144,本文主观给定,为了简化计算取,根据模型的建立,可以得出:= (6)又 (7)要求的最大值,将(7)式代入到(6)式中,通过数学软件求解得:=0.657187,此
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