【数学课件】左维老师群论讲义1.ppt
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1、群 论,参考书: 群论,韩其智、孙洪州,北京大学出版社 物理学中的群论,马中骐,科学出版社 典型群及其在物理学中的应用,怀邦,冯承天 等译,科学出版社,第一章 群的基本知识,1 群 群的定义:假设G是由一些元素组成的集合,即G=, g, . 在G中各元素间定义了一种合成规则 ( 操作,运算,群的乘法 ). 如果G对这种合成规则满足以下四个条件: a)封闭性. G中任意两个元素的乘积仍然属于G. b) 结合律. c) 单位元素. 集合G中存在一个单位元素e, 对任意元素 , 有 d) 可逆性. 对任意元素 , 存在逆元素 , 使 则称集合G为一个群., 有限群: 由有限个元素构成的群. 群元的个
2、数定义为群的阶. 例子: 1) 由 1,0,1 三个数组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个三阶有限群, 单位元素为0. 2) 空间反演群: 三维实空间中的恒等变换 E ( )和反演变换 I ( ). 如果定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 则E 和I 构成一个二阶有限群, 称为空间反演群. 3) n阶循环群 . 由一个元素 a 的幂构成的有限群. 设 , 则 构成一个群, 称为n阶循环群. 空间反演群是一个2阶循环群. 4) 平面正三角形对称群 . 保持平面正三角形空间 位置不变的所有转动变换 e : 不转 d : 绕 z 轴转2/3 f : 绕 z 轴转4/3 a : 绕
3、1 轴转 b : 绕 2 轴转 c : 绕 3 轴转 定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 构成一个群., 有限群的乘法表: 将有限中所有元素的乘积列为一个表, 称为乘法表. 例: 1) n阶循环群的乘法表,例: 2) 平面正三角形对称群的乘法表 e, d, f 构成三阶循环群 e, a , e, b 和 e, c 均构成二阶循环群., 无限群: 由无限个元素构成的群. 例子: 1) 由所有整数组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个分立无限群, 单位元素为0. 分立无限群: 群元无限可数. 2) 空间平移群: 三维实空间中的所有平移变换 对于变换乘法构成一个连续无限群. 变换乘法
4、: 从左向右依次施行变换. 连续无限群: 群元无限不可数, 可用一组连续变化的参数来描述. 3) 三维转动群SO(3). 三维空间保持原点不变的所有转动变换构成一个连续无限群. SO(3)群元可用绕通过原点的任何一个转动轴 k 转 的转动示 ,由三个连续变化的有界参数 (,)标记. 满秩(正则,非奇异)矩阵构成的群: 以矩阵的乘法作为群的乘法 1) 一般复线性群GL(n,C): 所有n阶正则复矩阵构成一个2 维连续群, 群元可用2 个实参数标记. 一般实线性群GL(n,R): 所有n阶正则实矩阵构成一个 维连续群, 群元可用 个实参数标记.,2) 特殊复线性群SL(n,C): 所有行列式为 +
5、1 的n阶正则复矩阵构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记. 特殊实线性群SL(n,R): 所有行列式为 +1 的n阶正则实矩阵构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记. 3) 酉群U(n): 所有n阶酉矩阵 构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记. 特殊酉群SU(n): 所有行列式为 +1 的n阶酉矩阵构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记. 4) 正交群O(n,C): 所有n阶复正交矩阵 构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记. 实特殊正交群SO(n,R): 所有行列式为 +1 的n阶实正交矩阵构成的 维连续群, 群元由 个实参数标记.,2 子群和陪集 子群的定义:假设 H 是群
6、G 的一个非空子集,若 子集 H 中的元素按照群G 的乘法构成一个群, 则称 H 为 G 的子群. 记为 . 单位元和群 G 本身都是群 G 的子群, 称为平庸子群. 如果G1 为 G 的子群, G2 为 G1 的子群, 则G2 为 G 的子群. 例: 1)平面正三角形对称群D3 . e,d,f , e,a , e,b , e,c 均为D3的子群. 2) 奇n阶循环群没有非平庸子群. 3) 从有限群中的任一元素 a 出发, 都能生成该群的一个循环子群. 4) 一般复线性群GL(n,C)特殊复线性群SL(n,C) 特殊实线性SL(n,R) 一般复线性群GL(n,C)酉群U(n) 特殊酉群SU(n
7、) 一般复线性群GL(n,C)复正交群O(n,C) 实正交群O(n,R) 特殊实 正交群SO(n,R), 陪集的定义:假设 H 是群 G 的一个子群, H = h . 对于群 G 中任意一个不属于子群 H 的元素 g , 可生成子群 H 的左陪集 gH和右陪集 Hg gH = gh | h H , Hg = h g| h H 根据群的定义, 有 gh H , h g H . 陪集元素的个数等与相应子群的阶. 陪集定理: 设H 是群 G 的一个子群, 则H 的两个左陪集 gH 和 fH 要么完全相等, 要么没有任何公共元素. 证明: 假设gH 和 fH 中有一个公共元素gh = fh , 则有
8、f 1g =h h-1 H. 根据重排定理, 有f 1g H = H , 即g H = fH 拉格朗日定理: 有限群的阶是其子群的阶的整数倍. 证明: 设G 的一个 n 阶有限群, H 是群 G 的一个m 阶子群. 根据拉格朗日 定理, 可以构造一个包括H 在内的左陪集串, 其中每个陪集没有公共 元素且整个陪集串充满群G ,即 G=Hg1Hg2Hg3HgL-1H 则有 n = Lm. 根据拉格朗日定理, 可以得到有限群的一种分割方式, 即有限群可以分割其子群的陪集串. 推论: 阶为素数的群没有非平庸子群. 例:平面正三角形对称群D3 可以按子群H1=e,a分为陪集串H1=e,a, bH1=b,
9、f, cH1=c,d. 也可按子群H4=e,d,f分为陪集串H4=e,d,f, aH4=bH4=cH4=a,b,c.,3 类和不变子群 共轭元素的定义:对于群G中的任意元素s, 元素g 和 f =sgs-1定义为互共轭元素. 记为 gf . 自轭性: 任何元素与其本身共轭, 即gg 对称性: 若gf , 则f g. 传递性: 若gf1, gf2 , 则f1f2 类的定义:群G中所有相互共轭的元素构成的集合称为群G的一个类. 根据共轭关系的性质, 群G的一个类中的元素可由该类中任一元素生成, 即 f类= f|f = sfs-1, s G, s取遍群G所有元素, 重复元素sfs-1只取一次. 根据
10、共轭的传递性可证: 两个不同的类没有公共元素. 定理: 有限群的阶是每一个类的元素个数的整数倍. 证明: 设G是n阶有限群, 对 G中的任一元素g, 作子 Hg= hG|hgh1=g 根据陪集定理, 可将群G分割成Hg的陪集串. 考察陪集串中任一陪集g1Hg . 有 g1Hg g (g1Hg )1= g1Hg g Hg 1 g11= g1g g11. 对于任何g2g g21=g1g g11,都有g21g1g( g2 1 g1)1 =g,即g21g1Hg , 从而g2g1Hg 。 综上, Hg的陪集串中每一个陪集对应于g类的一个元素,即g类中的元素的个数等于Hg的陪集串中陪集的个数。,例:1)群
11、G中的单位元素自成一类。 2) 阿贝尔群的每个元素自成一类。 3)平面正三角形对称群D3 可以分割为三个类: e , d,f , a,b,c. 不变子群: 设H是群G的子群,h是H中任意元素, 若H包含所有与h同类的元素, 即对于群G中任意一个元素g,有gHg1=H. 则称H是群G的不变子群. 等价定义: 设H是群G的子群, 如果H的任意一个左陪集与相应的右陪集相等, 即gH=Hg, 则H是群G的不变子群. 定理: 设H是G的不变子群, 对于G中的任意一个固定元素f, 当H中的元素h取变整个H时, fhf1一次并仅仅一次给出H的所有元素. 例: 1) 阿贝尔群的任意一个子群都是不变子群. 2)
12、平面正三角形对称群D3 中绕z轴转动的元素构成的子群 e , d,f 是一个不变子群. 它的任意一个左陪集与相应的右陪集重合, ae,d,f = e,d,fa = a,b,c. 商群: 设群G的不变子群H生成的陪集串为H, g1H, g2H, . , giH, ., 将其中每一个陪集作为一个元素 Fi 可构成一个集合. 定义两个陪集的乘法运算为: 由这两个陪集中的所有元素相乘得到另一个陪集. 即 giH Fi , gjH Fj , gkH Fk giHgjH=gigjHgj1gjH=gigjH=gkH Fi Fj =Fk 这样得到的群, Fi 称为G的不变子群H的商群, 记作G/H. 例:平面
13、正三角形对称群D3 的不变子群 H= e,d,f 的商群为二阶群e,d,f , a,b,c,4 群的同构与同态 A. 同构 定义: 设由群G到群F, 如果存在一个一一对应的满映射, 且映射保持群的基本运算规律不变, 即群G中任意两个元素乘积的映射等于F中这两个元素映射的乘积. 则称群G和群F同构, 记作GF, 映射称为同构映射. 同构映射将G中的单位元素映射为群F中的单位元素, 将群G中的互逆元映射为F中的相应的互逆元. 对于同构映射, 存在一个逆映射1, 逆映射1将F中的元素一一映射到G的元素. 例: 1) 所有的二阶群同构. 2) 绕z轴转过2n/N角度的所有转动变换与N阶级教育循环群同构
14、.,B. 同态 定义: 设由群G到群F, 如果存在一个满映射, 且映射保持群的基本运算规律不变, 即群G中任意两个元素乘积的映射等于F中这两个元素映射的乘积. 则称群G和群F同态, 记作GF, 映射称为由群G到群F的同态映射. 同态映射将G中的单位元素映射为群F中的单位元素, 将群G中的互逆元映射为F中的相应的互逆元. 同态核: 设群G与群F同态, G中与F的单位元素f0 对应的所有元素构成的集合, 称为同态核. 记为H. 同态核定理:设群G与群F同态, 则有 1) 同态核H是G的不变子群. 2) 商群G/H与F同构. 证明: 1) 对于同态核H中任意两个元素hi 和hj, 根据同态的定义,
15、有 (hi hj )= (hi ) (hj )=f0f0=f0. 再由同态核定义知 hi hj属于H. 对于同态核H中任意一个元素h,根据同态及同态核的定义, 有 (h h1 )= (h ) (h1 )=f0 (h1 )= (h1 )= f0, 于是h1 属于H. 故 H是G的子群.,对于同态核H中任意元素h 和群G中的任意元素g, 有 (g hg1 )= (g ) (h ) (g1 )= (g ) f0 (g1 )= f0, 即g hg1属于H, 故 H是G的不变子群. 2) 设H的陪集串为H, g1H, giH, , 考虑其中的任意一个陪集gH. 首先, 对于gH中任意元素gh, 根据同态
16、定义, 有 (g h) = (g ) (h ) = (g ), 即陪集gH对应于F中的一个元素. 其次, 设 giH 和 gjH 是陪集串中两个不同的陪集,根据同态定义, 有 (gi 1gj h) = (gi 1 ) (gj ) (h ) = (g i1 ) (gj) = (g i) 1 (gj), 若(g i) =(gj), (g i) 1 (gj)=f0,由同态核定义, 有gi 1gj h属于H, 即giH 和 gjH重合。 故陪集串中不同的陪集对应F中不同元素。 综上, 商群G/H中的元素与F中元素一一对应。G/H与F同态。 例: 1)任意群与单位元素构成的一阶群同态。 2)平面正三角形
17、对称群D3 与二阶循环群同态。 同构:两个群中元素一一对应。两个同构的群具有完全相同的乘法表和 群结构。 同态:G中的多个元素对应于F中一个元素。,群的直积 定义: 考虑两个群G1到G2。设g1G1,g2G2,定义G1到G2的直积群G的元素g为: g= g1g2= g2 g1 定义直积群的乘法运算为: g g= (g1g2)(g1g2)=(g1 g1)( g2 g2 )= ( g2 g2 ) (g1 g1) 满足群的四个条件,单位元素为e1e2 . 所有的元素g按上述 乘法运算构成群G1和G2的直积群. 记为 G=G1G2 设群G有两个子群G1和G2,如果下列条件满足: 1)G中的所有元素都能
18、唯一地表示为 g=g1g2 其中 g1 G1 ,g2 G2 2)G的乘法满足: g1g2 =g2 g1 则G可以表示为G1和G2的直积,三个群的乘法规则相同. 即G=G1G2 G1和G2称为G的直积因子., 群G的直积因子G1和G2都是G的不变子群。 设g1, g1G1,g2G2,则 g g1 g 1= g1g2 g1 g2 1 g1 1= g1g1 g1 1G1 故G1是G的不变子群。 群G的商群G/ G1与G2同构,轎侺黹钌釴歞餄眽雥瓴餍蛅齪淁诿蜌葟纥謫娊枺项挚癨霼穥畛袳躊濼猳摴髨譼栽晫拢韇鋞勻愮灪尴蒀锫渊铞佂蹙伄娹鼶脯濻烰髠虼订匇槥鉴磐沦跲耭妶馓嬒茫跖佅堳暺燋玧躯秵揻羉虺咧宆縷鵉轫綑鐾鍙
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