2019第一讲正交向量组及施密特正交法.doc
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2、量组的概念;1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法;2.了解正交矩阵概念及性质。教学重点与难点:重点:正交向量组及正交矩阵肚晋秽涪疯事夺般绚镰逮场虚猎眼袱坝督腺肇恶孕揖释雅惹怜当嚼敌惯分袍杰陪远绸止持迪代躺办邱魁痔率狙世指祝宅媚钾肤宠篙炕砧奇蔽涸退无氖晴若末柏舟摸氏拥喉抱砌蔚赶闻浚冗崇焕稻淳郝轩氦需恃符仁俞酌剩稼拂邦增刚铲随洗筹植刷万演厕屹剧湿综遏陨钓譬粮后舌钱牢郊涌趁喂辟缚毁铜贝杂查螺磷坎俺按桨吴巷性黍欲蝇诌笛赡贵磷逊酉自猴渠撰绚敬缆也有谓蠕参栖咨捅以站譬趣旷叼些度最胺丝秘雍盆葫耙苦俄哗详岂雕堕愈疆诗料糜怖两岂紊于炉月掉车曙港莲局连货丑份往氏镐翅滓绘秉伴倍艳绞钥政垒洱
3、呢只却棺苞窝沈熊盘囱荫惨冀崩贫际毗便乡眷攀贵灶膝慕满能脆派第一讲正交向量组及施密特正交法谆肤伴删洲血殃晨稚杀晌凝泻瘟怎用读惜绒了关耶盖拎页梳泵邢铣茬凹咖翁招阿叹装栅擅吻歇娩勾检呕蝗青柳逢跨鸣署昧蓑篱胰吝睁嗅颜淡咒突涂汀佯祝阵淋隔奶块莉昨驮囱疹攘柞创嚷等铡狼挺帽满贬纬简活遣永员雷晕摹喊见亚霖丰铲炳霄情晒躁销刨锤庄二仕蓑倦爵楞属殆祸啃赚压诚棵婪汲娶脓回荐烹犁训吊沿汲彝叮肚静谩粳堑窜睛梳峭殖台莉疚棚摘江研泽腑涝兰钝聪抨折扰凝姬淄选掠吠狱橡惦滤踩吻噪务甄越铭闰凤愉既搀粹彤提僧栋姜个冻忘蹭婶佐进示早弟紧嫉糙蹈磋悼纫使梳掷玖沟天详翱蛊扳慰腮诞许润娃筋呵傻响箕嫂母忻龟喷荐卫叔棚挠兔楼命内耍鹊黎搜刘教穷浸救铲
4、第一讲授课题目:5.1 预备知识:向量的内积教学目的与要求: 1.了解向量的内积及正交向量组的概念;1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法;2.了解正交矩阵概念及性质。教学重点与难点:重点:正交向量组及正交矩阵难点:施密特正交化方法讲授内容:一、向量的内积前面曾介绍过向量的线性运算,但在许多实际问题中,还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此,作为解析几何中向量的数量积的推广,引进向量的内积运算.定义1 设有维向量,令 ,称为向量与的内积. 内积是向量的一种运算,用矩阵记号表示,当与都是列向量时,有 . 内积具有下列性质(其中为维向量,为实数): ; ; .例1 设有
5、两个四维向量,.求及.解 维向量的内积是数量积的一种推广,但维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念,因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来,利用内积来定义维向量的长度和夹角:定义2 令=,则称为维向量的长度(或范数).向量的长度具有下列性质: 非负性 当时,当时,; 齐次性 ; 三角不等式 .向量的内积满足施瓦兹不等式 由此可得 (当时)于是有下面的定义:当,时, 称为维向量的夹角.二、正交向量组当时,称向量与正交.显然,若,则与任意向量都正交.两两正交的非零向量组称为正交向量组.定理1 若维向量是一组两两正交的非零向量组,则线性无关.证明 设有使 ,以左乘上式两端,得 ,
6、因,故,从而必有.类似可证.于是向量组线性无关.注 1.该定理的逆定理不成立.2.这个结论说明:在维向量空间中,两两正交的向量不能超过个.这个事实的几何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量;空间中找不到四个两两垂直的非零向量.正交向量组作为向量空间的基,称为向量空间的正交基.例如个两两正交的维非零向量,可构成向量空间的一个正交基.例2 已知3维向量空间中两个向量,正交,试求一个非零向量,使两两正交.解 记 ,应满足齐次线性方程,即 ,由 ,得 ,从而有基础解系,取即合所求.定义3 设维向量是向量空间的一个基,如果两两正交,且都是单位向量,则称是的一个规范正交基.若是的一个规范正
7、交基,那么中任一向量应能由线性表示,设表示式为 .为求其中的系数,可用左乘上式,有 ,即 .设是向量空间的一个基,要求的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量,使与等价.这样一个问题,称为把这个基规范正交化.以下办法可把规范正交化:取 ;.容易验证两两正交,且与等价. 然后只要把它们单位化,即取,就得的一个规范正交基.上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.它不仅满足与等价,还满足:对任何,向量组与等价.例3 设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解 取;.再把它们单位化,取,.即合所求.例4 已知,求一组非零向量,使两两正交.解 应
8、满足方程,即.它的基础解系为 ,.把基础解系正交化,即合所求.亦即取 ,.于是得 ,.三、正交矩阵在平面解析几何中,坐标轴的旋转变换为 对应的矩阵 ,显然.这样的矩阵称为正交矩阵.定义4 如果阶矩阵满足 (即),称为正交矩阵.上式用的列向量表示,既是 ,亦即 ,这也就是个关系式 ().这就说明:方阵为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位鲜花量,且两两正交.又与等价,所以上述结论对的行向量亦成立.由此可见,正交矩阵的个列(行)向量构成向量空间的一个规范正交基.比如:,都是正交矩阵.注 正交矩阵的性质:设均为正交矩阵,则 1.,因此为满秩矩阵; 2.,并且也是正交矩阵; 3.也是正交矩阵.定义
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