材料力学 第5章 弯曲应力.ppt
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1、材 料 力 学,第5章 弯曲应力,5.1 概述 了解 5.2 梁纯弯曲时的正应力 掌握 5.3 梁横力弯曲时的正应力 掌握 5.4 弯曲切应力 掌握 5.5 弯曲强度的计算 重点掌握 5.6 提高梁承载能力的措施 掌握,第 5 章 弯曲应力,本章要点,(1) 纯弯曲梁横截面上的正应力 (2) 横力弯曲梁的正应力,正应力强度条件 (3) 弯曲切应力和切应力强度校核 (4) 提高梁弯曲强度的措施,重要概念,纯弯曲,横力弯曲,中性层,中性轴,弯曲切应力,弯曲正应力,抗弯刚度,抗弯截面模量,变截面梁,等强度梁,本章难点,(1) 弯曲应力的计算 (2) 弯曲强度计算,钢筋混凝土梁拉裂破坏,1、弯曲构件横
2、截面上的内力和应力,木梁剪切破坏,5.1 概 述,工程实例,2、纯弯曲和横力弯曲,梁段CD上,只有弯矩,没有剪力,且弯矩为一常数纯弯曲,梁段AC和BD上,既有弯矩,又有剪力横力弯曲,平面弯曲时横截面上只有s 而无t : 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况) 平面弯曲时横截面上既有s又有t : 横力弯曲梁(横截面上既有FS又有M的情况),3、研究方法,平面弯曲:,5.2 梁横截面上的正应力,弯曲正应力的分布为超静定问题,必须考虑几何变形、物理关系和静力关系三方面的关系。,纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)横截面上的正应力,研究方法,平面弯曲,横力弯曲梁(横截面上既有FS又有M的情况)横
3、截面上的正应力,9,一、纯弯曲梁横截面上的正应力,(一)梁纯弯曲实验,(1)横向线:变形后仍为直线,但有转动; (2)纵向线:均弯曲成圆弧线,且上缩下伸;横向线与纵向线变形后仍正交。,1.变形现象,与轴向拉、压时变形相似。,(3) 在伸长区,梁宽度减小, 在缩短区,梁宽度增加。,中性轴:中性层与横截面的交线。,中性轴垂直于加载方向,垂直于梁横截面的纵向对称轴。,由变形的连续性可知:,从伸长到缩短的过程中,必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度。此层称中性层。,中性轴,中性层,(2)横截面上只有正应力。,2.假设和推论,(1)平面假设:横截面变形后仍为平面,并仍与已变弯后的梁轴线垂直
4、,只是绕中性轴发生转动。,(2)假设纵向纤维之间无挤压,各条纤维仅发生简单的拉伸或压缩。材料服从虎克定律= E。,推论:,(1)距中性轴等高处,变形相等。,引入假设:,二、 应变分布规律变形几何关系,坐标系的选取: y 轴:截面的纵向对称轴。 z 轴:中性轴。 x 轴:沿梁轴线,:中性层的曲率半径 d:微段两相邻截面的相对转角 y: 分析点距中性轴的距离。,三、 应力分布 物理方程,假设:纵向纤维互不挤压。于是,任意一点均处于单向应 力状态。,胡克定理,应力分布特点: (1)直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力,与它到中性轴的距离 y 成正比. (2)在中性轴上, = 0; (3)在中性轴两侧
5、,分别为拉应力和压应力;,?,待解决问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径r,四、静力关系 (确定中性轴的位置和),受力分析: dA上的内力为dA,于是整个截面上所有内力组成一空间平行力系,这一力系简化得到三个内力分量:FN,Mz,My。由于横截面上只有绕中性轴的弯矩M,所以横截面法向的轴力FN和力偶矩My应为零,即:,(1)由:,SZ -为截面积对 Z 轴(中性轴)的静矩。,SZ =0, yc=0,说明中性轴z必过截面形心。,yc:截面形心到Z轴的距离,(2) 由:,Iyz惯性积,因为Y轴是对称轴,具有对称面,故自动满足。,(对称面),(3) 由:,则:,EIz 梁的抗弯刚度。,梁的曲率公式,
6、Iz是横截面对中性轴 Z 的惯性矩。,于是,纯弯曲正应力计算公式,纯弯曲正应力计算公式:,表明: s 与 M 和 y 成正比,与Iz矩成反比,沿截面高度成线性分布。,式中:M梁横截面上的弯矩;,y梁横截面上任意一点到中性轴的距离;,Iz梁横截面对中性轴的惯性矩.,中性轴上:y =0 , s = 0 ;,上、下边缘:| y |max ,| s |max 。,(1) 方向(正负号): 可由梁的变形直接判定,讨 论:,(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.,则公式改写为,引用记号,抗弯截面系数或抗弯截面模量,Wz的单位:或m,讨 论:,(3)中性轴是对称轴:截面上最大拉应力tmax、最大
7、压应力cmax在数值上相等 .,(4)中性轴不是对称轴:,讨 论:,常见截面的 IZ 和 WZ,实心圆截面,矩形截面,空心圆截面,一、横力弯曲各截面上任一点的正应力,5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力,弹性力学精确分析表明,当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 (细长梁)时,纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲时,各截面的弯矩随截面位置X发生变化,对任一截面上任一点的正应力可按下式计算:,二、横力弯曲全梁上的最大正应力,或:,等直梁:,变截面梁:,三、弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力公式:,纯弯曲或细长梁的横力弯曲,平面弯曲,线弹性变形阶段,要点 正应力沿截面高度
8、线性分布,在中性轴上为零。中性轴将截面分为受拉区和受压区。 中性轴通过截面形心。,例5.1 受均布载荷作用的简支梁如图所示,试求: (1)11截面上1、2两点的正应力; (2)此截面上的最大正应力; (3)全梁的最大正应力; (4)已知E=200GPa,求1-1截面的曲率半径。,解:(1)画M图求截面弯矩,弯矩方程:,求支反力:,(2)求应力,(3)求1-1截面的曲率半径,E=200GPa,切应力分布与截面形状有关.,(1)两点假设 切应力与剪力平行,方向一致; 距中性轴等距离处,切应力相等(沿z均匀分布)。,5.4 弯曲切应力,1、 矩形截面梁横截面上的切应力,从梁中切出分离体:,x方向平衡
9、:,其中:,(2)横截面上距中性轴y处的切应力,(2)横截面上距中性轴y处的切应力,式中: FS 所求横截面上的剪力; Iz 横截面对中性轴的惯性矩; b、h横截面的宽度和高度。 Sz* 距中性轴y处横线以下(或以上)的面积对中性轴的静矩(取正值);,t方向:与横截面上剪力方向相同; t大小:沿截面宽度均匀分布,沿高度h为抛物线分布,在中性轴上最大。最大切应力为平均切应力的1.5倍。 在横截面上下边缘t=0。,矩形截面梁 横截面上切应力的分布规律:,y=0(中性轴上)时:,2、工字形截面梁横截面上的切应力,腹板:切应力方向与剪力一致,计算公式可用矩形截面的计算公式,亦为:,其中:FS截面剪力;
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