第14课二次函数及其图象.ppt
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1、第14课 二次函数及其图象,1定义:形如函数 叫做二次函数 2利用配方,可以把二次函数yax2bcc表示成 .,要点梳理,yax2bxc(其中a、b、c是常数,,且a0),ya 2,3图象与性质: 二次函数的图象是抛物线,当 时抛物线的开口 ,这时当 时,y的值随x的增大而 ;当 时,y的值随x的增大而 ;当x 时,y有 .当 时抛物线开口 ,这时当 时,y的值随x的增大而 ;当 时,y的值随x的增大而 ; 当x 时,y有 . 抛物线的对称轴是直线x ,抛物线的顶点 是 .,a0,向上,x,减小,x,增大,最小值,a0,向下,x,增大,x,减小,最大值,4图象的平移:,1正确理解并掌握二次函数
2、的概念以及解析式的三种形式的转化 根据定义可知,二次函数需满足两个条件:a0,x的最高 次数为2.一般式yax2bxc(a0) 如果抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0), 则解析式可以写成交点式ya(xx1) (xx2 ) . 将解析式yax2bxc通过配方法可化成顶点式ya(xh)2k; 将顶点式、交点式展开,合并同类项后,即可化成一般式yax2 bxc.,难点正本 疑点清源,在已知抛物线上三个点的坐标时,我们通常设一般式,然后将三个点的坐标分别代入关系式中,解方程组,求出各系数,以确定函数关系式;在已知拋物线顶点坐标时,我们通常设顶点式,只要再找到一个条件
3、,即可求此函数关系式;在已知抛物线与x轴两个交点坐标时,我们通常设交点式,再寻找一个条件即可求函数关系式,2正确认识二次函数与二次方程间的关系 已知二次函数yax2bxc的函数值为k,求自变量x的值,就是解一元二次方程ax2bxck;反过来,解一元二次方程ax2bxck,就是把二次函数yax2bxck的函数值看做0,求自变量x的值学习这部分知识,可以类比一次函数与一元一次方程的关系 抛物线yax2bxc与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0),同样满足、 x1x2 , x1x2 ;两交点间的距离x1x2 .,1(2011北京)抛物线yx26x5的顶点坐标为( ) A(3,4) B. (3,4
4、) C(3,4) D(3,4) 解析:yx26x5(x26x9)4(x3)24, 则抛物线顶点坐标为(3,4),基础自测,A,2(2011乐山)将抛物线yx2向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是( ) Ay(x2)2 Byx22 Cy(x2)2 Dyx22 解析:抛物线yx2向左平移2个单位,得y(x2)2.,A,3(2011重庆)已知抛物线yax2bxc(a0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是( ) Aa0 B. b0 Cc0 Dabc0 解析:当x1时,对应的点(1 , y)在 第一象限内,yabc0.,D,4(2011威海)二次函数yx22x3的图象如图所示当
5、y0时,自变量x的取值范围是( ) A1x3 Bx1 Cx3 Dx3或x3 解析:如图,可知x1或3时, y0;当1x3时,y0.,A,5(2011孝感)如图,二次函数yax2bxc的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为 ,下列结论:ac0;ab0;4acb24a;abc0.其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C3 D4,( ,1),C,解析:根据图象可知: a0,c0,ac0,正确; 顶点坐标横坐标等于 , ,ab0正确; 顶点坐标纵坐标为1, 1,4acb24a,正确; 当x1时,yabc0,错误 正确的有3个故选C.,题型一 待定系数法确定二次函数的解析式 【例1】 已知一抛物线与
6、x轴的交点是A(2,0)、B(1,0),且经过C(2,8). (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标 解:(1)设ya(x2)(x1),又抛物线过C(2,8), 8a(22)(21),a2. y2(x2)(x1)2(x2x2)2x22x4. (2)x , y2 22 4 144 , 顶点坐标为 .,题型分类 深度剖析,探究提高 根据不同条件,选择不同设法 (1)若已知图象上的三个点,则设所求的二次函数为一般式yax2bxc(a0),将已知条件代入,列方程组,求出a、b、c的值 (2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程,函数最值,则设所求二次函数为顶点式ya(xm)2k(a0),将
7、已知条件代入, 求出待定系数 (3)若已知抛物线与x轴的交点,则设抛物线的解析式为交点式ya(xx1)(xx2)(a0),再将另一条件代入,可求出a值,知能迁移1 已知二次函数yx2bxc图象如图所示,它与x轴交点坐标为(1,0),与y轴的交点坐标为(0,3) (1)求出b、c的值,并写出此二次函数的解析式; (2)根据图象,写出函数的值y为正数时,自变量x的取值范围 解:(1)由题意,得 解之得 yx22x3. (2)令y0,得x22x30, 解之得x11,x23. 当y0时,x的取值范围是1x3.,题型二 利用二次函数的性质解答 【例2】 已知点A(1,1)在二次函数yx22axb的图象上
8、 (1)用含a的代数式表示b; (2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点,求这个二次函数的图象的顶点坐标 解:(1)点A(1,1)在抛物线yx22axb上, 112ab,b2a. (2)抛物线yx22ax2a与x轴只有一个交点, (2a)2412a0, 4a28a0,4a(a2)0, a0,a20,a2. yx24x4(x2)2,顶点坐标为(2,0),探究提高 某点在函数图象上,该点的横坐标、纵坐标满足函数解析式 函数yx22axb的图象与x轴只有一个公共点,可知关于x的方程x22axb0有两个相等的实数根,根据此两个条件可列出关于a、b的二元一次方程,解之即得函数的解析式,知能迁移2 (
9、1)抛物线ya(x1)(x3)(a0)的对称轴是( ) A直线x1 B直线x1 C直线x3 D直线x3 解析:令y0,可得x11,x23, 所以对称轴是直线x 1,选A.,A,(2)二次函数y(x1)22的图象上最低点的坐标是( ) A(1,2) B(1,2) C(1,2) D(1,2) 解析:因为a10,抛物线有最低点,其坐标为(1,2),选B.,B,题型三 利用二次函数解决实际应用题 【例3】 我市某大型酒店有包房100间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房费100元时,包房便可全部租出;若每间包房收费提高20元,则减少10间包房租出,若每间包房收费再提高20元, 则再减少10间包房租出,
10、以每次提高20元的这种方法变化下去 (1)设每间包房收费提高x(元),则每间包房的收入为y1(元),但会减少y2间包房租出,请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式; (2)为了投资少而利润大,每间包房提高x(元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元),请写出y与x之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由,解:(1)y1100x,y2 x. (2)y(100x)(100 x) x250x10000 (x50)211250, 因为提价前包房费总收入为10010010000, 当x50时,可获得最大包房收入11250元, 因为1125010000,又因
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- 14 二次 函数 及其 图象
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