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1、第十一章 复变函数,第一节 、 复平面 第二节、复变函数 第三节、解析函数,第一节、复平面,一、复数的概念 二、复数的各种表示、模与辐角 三、复平面上的点集与区域,一、复数的概念,定义;设 x,y为两个任意实数,称形如x+yi 的数为复数,记为 z= x+yi ,其中 i 满足i2 =-1,i称为虚数单位.实数x 和 y分别称为复数z 的实部和虚部,记为x=Rez,y=Imz. 各数集之间的关系可表示为,复数的代数运算,设复数 , 定义 z1 与 z2 的四则运算如下: 加法: 减法: 乘法: 除法:,复数四则运算规律:,(1)加法交换律: (2)乘法交换律 (3)加法结合律 (4)乘法结合律
2、 (5)乘法对于加法的分配律 复数运算的其它结果: (1) (2) (3)若 ,则 Z1与 Z2至少有一个为零,反之亦然.,共轭复数的运算性质:,(1) (2) (3) (4) (5) (6) 为实数,例1 化简,例2,二、复数的各种表示、模与辐角,1.复数的几何表示 由复数z=x+iy 的定义可知,复数是由一对有序实数(x,y) 惟一确定的,于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系,即可以用横坐标为x ,纵坐标为y的点 表示复数 (如图),这是一种几何表示法,通常称为点表示,并将点 P 与数 看作同义词.,2.复数的向量表示 复数 还可以用起点为原点,终点为P(x,y) 的向量
3、 来表示(如图), x 与 y 分别是实部和虚部分.,3.复数的模与辐角 复数的模 Z0对应的向量 的长(如图), 与实轴正方向所夹的角 ,称为复数 Z的辐角,记作argz ,即 =argz+2k , k为整数 并规定 按逆时针方向取值为正,顺时针方向取值为负. 4.复数的的三种表示式. 复数的表示式 称为复数 的三角表示式. 复数的表示式 称为复数 的指数表示式 复数的表示式 称为复数 的代数表示式,三、复平面上的点集与区域,扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,或复平面. 邻域 平面上以 z0为心 ,0为半径的圆: 内部所有
4、点z0 的集合称为点z0的 邻域,记为 N(z0,) . 称集合 (z0 - , z0 + ) 为 z0 的去心 邻域 记作 开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内点,则称 D 为开集. 闭集 如果点集D的余集为开集,则称 D为闭集. 连通集 设是D开集,如果对D 内任意两点,都可用折线连接起来,且该折线上的点都属D则称开集是连通集. 区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域. 闭区域 开区域 连同它的边界一起,称为闭区域,记为 .,第二节、复变函数,一、复变函数的概念,一、复变函数的概念:,定义1 设 D为给定的平面点集,若对于D 中每一个复数z=x+iy ,按着某一确定的法则f ,
5、总有确定的一个或几个复数 与之对应,则称 f是定义在D上的复变函数(复变数 是复变数Z的函数),简称复变函数,记作 =f(z) 其中 Z称为自变量, 称为因变量,点集 D 称为函数的定义域. 例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数. 解 设,第三节、解析函数,一、复变函数的导数 二、解析函数的定义 三、柯西黎曼条件,一、复变函数的导数,1.导数的定义 定义1 设函数f(z) 在包含 z0 的某区域 D内有定义,当变量z 在点z0 处取得增量 时,相应地,函数 取得增量 若极限( ) 存在,则称f(z) 在点 z处可导, 此极限值称为f(z) 在点 z处的导数,记 或 ,即,二、
6、解析函数的定义,定义3 如果函数 f(z)不仅在点 z0处可导,而且在点z0 的某邻域内的每一点都可导,则称 f(z) 在点z0 处解析,并称点z0 是函数的解析点;如果函数 f(z) 在区域D内每一点都解析,则称 f(z) 在区域 D内解析或称 为区域D 内的解析函数,区域 D 称为 的解析区域. 如果 f(z) 在点z0 处不解析,但在z0 的任一邻域内总有 z0 的解析点,则称 z0 为f(z) 的奇点.,例5 讨论函数 f(z)=z2的解析性.,解 由例2知,f(z)=z2 在整个复平面内处处可导且 ,则由函数在某区域内 解析的定义可知,函数 f(z)=z2在整个复平面上解析。,三、
7、柯西黎曼条件,定理 设函数 在区域 D 内有定义,则 在 D内解析的充分必要条件为 在 D内任一点 处 (1)可微; (2)满足 上式称为柯西黎曼条件(或方程),简称CR条件(或方程). 定理 函数 在区域 D 内解析的充要条件为 (1) 在D内连续; (2) 在 D 内满足CR条件 ,,第四节、初等解析函数,一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、三角函数,一、 指数函数,定义3 复变量的指数函数定义为 指数函数的一些重要性质: (1)指数函数 ez在整个Z的有限平面内都有定义,且处处不为零. (2)ez1+z2 =ez1ez2 (3)指数函数是以2i 为周期的周期函数 (4)指数函数e
8、z 在整个复平面上解析,且有 (ez)=ez,二、对数函数,定义4 对数函数定义为指数函数的反函数. 若 ,则称 是Z的对数函数,记 作 对数函数是一个多值函数,每一个Z 对应着多个LnZ的值. 若令k=0 ,则上式中的多值函数便成为了单值函数,则称这个单值函数为多值函数LnZ 的主值. 记作lnz 例1 求 . 解 因为-1的模为 1,其辐角的主值为 , 所以 而 又因为 iii的模为1,而其辐角的主值为 , 所以,复变量对数函数具有与实变量对数函数同样 的基本性质:,( 5)对数函数的解析性 可以证明 Lnz在除去原点与负实轴的Z平面内解析,所以 Lnz的各个分支也在除去原点与负实轴的Z平
9、面内解析。,三、幂函数,定义5 设 为任意复常数,定义一般幂函数为 它是指数与对数函数的复合函数,是多值函数(因 对数函数是多值的). 幂函数的几种特殊情形: (1)当 为整数时, 是与K 无关的单值函数(0,n 为正整数)时, f(z)=zn为Z的 次乘方, (2)当 为有理数 时(为既约分数, n0 ),,只有 n 个不同的值,即当 K 取 0,1,2,n-1时的对应值.,(3)当 为无理数或复数时,z 有无穷多个值. 此时的 z 与根式函数 的区别 是无穷多值函数. 而后者的值是有限的。,(1)当 =n( n 为正整数)时,zn 在整个复平面内单值解析,且,(2)当 =-n(n 为正整数)时, 在除原点的复平面内解析,且,四、三角函数,定义7 设 Z 为任一复变量,称 与 分别为复变量Z的正弦函数与余弦函数,分别记为sinz 与cosz 正弦函数与余弦函数的性质: (1)sinz 与 cosz都是以 2为周期的周期函数 (2) sinz为奇函数,cosz 为偶函数,即对任意的Z 有 (3),(4) 和 都是无界的.,因为 可见,当 无限增大时, 趋于无穷大,同理可知, 也是无界的.,
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