齐次波动方程的第一齐边值问题.ppt
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1、数学物理方程,陈有亮 上海理工大学环境与建筑学院,第2章 分离变量法和积分变换法,1 齐次波动方程的第边值问题 2 齐次热传导方程的定解问题 3 二维拉普拉斯方程 4 非齐次定解问题的解法 5 积分变换法 习题二,1 齐次波动方程的第边值问题,1.1 有界弦的自由振动 1.2 解的物理意义,1.1 有界弦的自由振动,考虑长为l,两端固定的有界弦的自由振动问题,其可归结为如下定解问题 u|x=0=0, u|x=l=0, t0 (1.2) u|t=0=(x), u/t|t=0=(x), 0x l (1.3) 其中 (x), (x)均为已知函数。,1.1 有界弦的自由振动,考虑长为l,两端固定的有界
2、弦的自由振动问题,其可归结为如下定解问题 此定解问题的方程和边值条件都是齐次的,而初值条件是非齐次的。 先对有界弦振动过程中的波形进行分析。 波形表示波在传播过程中的真实形状(瞬间) ,即若选定一个坐标轴轴的话,它表示某时刻各点处的位移分布。试验表明,驻波在不同时刻各点处的位移按同一比例增减。,1.1 有界弦的自由振动,设u(x,t)为驻波的位移函数, 在时刻t0的波形为 u(x,t0) =X(x), 在时刻 t1的波形为u(x,t1),则 其中T1为常数 。 再设在时刻 t2的波形为u(x,t2),则 其中T2为另一常数 。,1.1 有界弦的自由振动,设在时刻t的波形为 u(x,t),则 其
3、中Tt是一个与x无关的量,它只随时间t的变化而变化,即T应该是时间t的函数。 由(1.4) 得 u(x,t)= u(x,t0)T(t)=X(x)T(t) 下面介绍用分离变量法求解方程 (1.1) 的全过程 。,1.1 有界弦的自由振动,在求解之前我们首先要声明,我们所求的解为非零。求解过程大体分为三步。 第一步,变量分离 设 u(x,t)= X(x)T(t) (1.5) 将(1.5)代入方程(1.1),可得 X(x)T“(t)= a2X“(x)T(t),1.1 有界弦的自由振动,或 仔细分析方程(1.6),左边仅是x的函数,右边仅是t的函数,若要两边相等,只有两边都等于同一常数时才有可能。设此
4、常数为-,则,1.1 有界弦的自由振动,由(1.7) 可以得到如下两个常微分方程 由u(x,t)=X(x)T(t)和边界条件 (1.2)可得 X(0)T(t) =0, X(l)T(t) =0 (1.10) 由于要求的解为非零解,故 u(x,t) 0, 则T(t) 0, (1.10) 变为,1.1 有界弦的自由振动,X(0) = X(l) =0 (1.11) 先通过解如下方程解出X(x) 方程(1.12)中含有待定常数, 且的值对问题的解有很大影响。对 (1.12)这样要讨论问题的非零解必须先讨论的值的问题,称为固有值(或特征值)问题,使问题 (1.12)有非零解的称为该问题的固有值(或特征值)
5、, 相应的非零解X(x)称为它的固有(或特征) 函数。,1.1 有界弦的自由振动,第二步,求解固有值问题。对分三种情况来讨论: (1) 0 (2) 0 (3) 0,1.1 有界弦的自由振动,(1) 0, 此时方程X+X=0的通解为 由条件X(0) = X(l) =0, 可得 A*1+B*1=0 由于,1.1 有界弦的自由振动,故A=B=0,即X(x)0, 不符合非零解的要求,因此不能小于零。 (2) 0, 此时方程X+X=0的通解为 X(x)=Ax+B 由条件X(0) = X(l) =0仍然得到A=B=0, 即X(x)0, 所以也不能等于零。 (3) 0, 此时方程X+X=0的通解为,1.1
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