2018中考数学专题突破导学练第11讲一次函数的应用试题20170731226.doc
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1、第11讲 一次函数的应用【知识梳理】建模思想:解答一次函数的应用题时,应从给定的信息中抽象出一次函数关系,理清哪个是自变量,哪个是自变量的函数,再利用一次函数的图象与性质求解,同时要注意自变量的取值范围一次函数的最大(小)值:一次函数ykxb(k0)自变量x的范围是全体实数,图象是直线,因此没有最大值与最小值实际问题中的一次函数:自变量的取值范围一般受到限制,其图象可能是线段或射线,根据函数图象的性质,就存在最大值或最小值常见类型:(1)求一次函数的解析式;(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题如最值等【考点解析】题型一 利用一次函数进行方案选择例1. (2017宁夏)某商店分两次购进 A
2、、B两种商品进行销售,两次购进同一种商品的进价相同,具体情况如下表所示: 购进数量(件)购进所需费用(元) AB第一次30403800第二次40303200(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元?(2)商场决定A种商品以每件30元出售,B种商品以每件100元出售为满足市场需求,需购进A、B两种商品共1000件,且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润【分析】(1)设A种商品每件的进价为x元,B种商品每件的进价为y元,根据两次进货情况表,可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设购进B种商品m件,获得的利润为w元,则购进A种商品
3、(1000m)件,根据总利润=单件利润购进数量,即可得出w与m之间的函数关系式,由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,再根据一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解:(1)设A种商品每件的进价为x元,B种商品每件的进价为y元,根据题意得:,解得:答:A种商品每件的进价为20元,B种商品每件的进价为80元(2)设购进B种商品m件,获得的利润为w元,则购进A种商品(1000m)件,根据题意得:w=(3020)(1000m)+(10080)m=10m+10000A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍,1000m4m,解得:m200在w=1
4、0m+10000中,k=100,w的值随m的增大而增大,当m=200时,w取最大值,最大值为10200+10000=12000,当购进A种商品800件、B种商品200件时,销售利润最大,最大利润为12000元【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式,解题的关键是:(1)找准等量关系,列出二元一次方程组;(2)根据数量关系,找出w与m之间的函数关系式题型二 利用一次函数解决分段函数问题例2. (2017重庆B)甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行,甲骑自行车从A地到B地,乙驾车从B地到A地,他们分别以不同的速度匀速行驶,已知甲先出发6分钟后,乙才出发,在整个过程
5、中,甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示,当乙到达终点A时,甲还需18分钟到达终点B【分析】根据路程与时间的关系,可得甲乙的速度,根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度,可得乙到达A站需要的时间,根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度,可得甲到达B站需要的时间,再根据有理数的减法,可得答案【解答】解:由纵坐标看出甲先行驶了1千米,由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟,甲的速度是16=千米/分钟,由纵坐标看出AB两地的距离是16千米,设乙的速度是x千米/分钟,由题意,得10x+16=16m,解得x=千米/分钟,相遇后乙到达A站还需(16)=2分钟,相遇后甲到达B站还需
6、(10)=20分钟,当乙到达终点A时,甲还需202=18分钟到达终点B,故答案为:18【点评】本题考查了函数图象,利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键题型三 利用一次函数解决其他生活实际问题例3“低碳环保,绿色出行”的理念得到广大群众的接受,越来越多的人再次选择自行车作为出行工具,小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆,爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间,休息了5分钟,再以m米/分的速度到达图书馆,小军始终以同一速度骑行,两人行驶的路程y(米)与时间x(分钟)的关系如图,请结合图象,解答下列问题:(1)a=10,b=15,m=200;(2)若小军的速度是120米/分,求小军在途中与爸
7、爸第二次相遇时,距图书馆的距离;(3)在(2)的条件下,爸爸自第二次出发至到达图书馆前,何时与小军相距100米?(4)若小军的行驶速度是v米/分,且在途中与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地),请直接写出v的取值范围【考点】FH:一次函数的应用【分析】(1)根据时间=路程速度,即可求出a值,结合休息的时间为5分钟,即可得出b值,再根据速度=路程时间,即可求出m的值;(2)根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式,联立两函数解析式成方程组,通过解方程组求出交点的坐标,再用3000去减交点的纵坐标,即可得出结论;(3)根据(2)结论结合二者之间相距100米,即可得出关于x的含绝对值符
8、号的一元一次方程,解之即可得出结论;(4)分别求出当OD过点B、C时,小军的速度,结合图形,利用数形结合即可得出结论【解答】解:(1)1500150=10(分钟),10+5=15(分钟),(22.515)=200(米/分)故答案为:10;15;200(2)线段BC所在直线的函数解析式为y=1500+200(x15)=200x1500;线段OD所在的直线的函数解析式为y=120x联立两函数解析式成方程组,解得:,30002250=750(米)答:小军在途中与爸爸第二次相遇时,距图书馆的距离是750米(3)根据题意得:|200x1500120x|=100,解得:x1=17.5,x2=20答:爸爸自
9、第二次出发至到达图书馆前,17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米(4)当线段OD过点B时,小军的速度为150015=100(米/分钟);当线段OD过点C时,小军的速度为300022.5=(米/分钟)结合图形可知,当100v时,小军在途中与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地)题型四 一次函数的综合应用例4(2017江西)如图,直线y=k1x(x0)与双曲线y=(x0)相交于点P(2,4)已知点A(4,0),B(0,3),连接AB,将RtAOB沿OP方向平移,使点O移动到点P,得到APB过点A作ACy轴交双曲线于点C(1)求k1与k2的值;(2)求直线PC的表达式;(3)直接写出线段AB
10、扫过的面积【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题;FA:待定系数法求一次函数解析式;Q3:坐标与图形变化平移【分析】(1)把点P(2,4)代入直线y=k1x,把点P(2,4)代入双曲线y=,可得k1与k2的值;(2)根据平移的性质,求得C(6,),再运用待定系数法,即可得到直线PC的表达式;(3)延长AC交x轴于D,过B作BEy轴于E,根据AOBAPB,可得线段AB扫过的面积=平行四边形POBB的面积+平行四边形AOPA的面积,据此可得线段AB扫过的面积【解答】解:(1)把点P(2,4)代入直线y=k1x,可得4=2k1,k1=2,把点P(2,4)代入双曲线y=,可得k2=24=8;(2
11、)A(4,0),B(0,3),AO=4,BO=3,如图,延长AC交x轴于D,由平移可得,AP=AO=4,又ACy轴,P(2,4),点C的横坐标为2+4=6,当x=6时,y=,即C(6,),设直线PC的解析式为y=kx+b,把P(2,4),C(6,)代入可得,解得,直线PC的表达式为y=x+;(3)如图,延长AC交x轴于D,由平移可得,APAO,又ACy轴,P(2,4),点A的纵坐标为4,即AD=4,如图,过B作BEy轴于E,PBy轴,P(2,4),点B的横坐标为2,即BE=2,又AOBAPB,线段AB扫过的面积=平行四边形POBB的面积+平行四边形AOPA的面积=BOBE+AOAD=32+44
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